A Cartan decomposition, restricted roots and invariant measure of real spherical homogeneous spaces of reductive type
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19K03453
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Tokai University |
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Principal Investigator |
笹木 集夢 東海大学, 理学部, 教授 (60514453)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2020: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2019: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | 簡約型実球等質空間 / 不変測度 / カルタン分解 / 制限ルート / 分岐則 / 可視的作用 / ハイゼンベルグ群 / ハイゼンベルグ型ゲルファント対 / 双対定理 / 簡約型球等質空間 / 階数1 / ゲルファント対 |
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| Outline of Research at the Start |
対称空間に対するカルタン分解や制限ルート系の理論によって代数的手法により対称空間上の非可換調和解析や幾何の研究が進展した．一方で，対称ではない等質空間上の調和解析が未発展である理由の1つに，カルタン分解のような分解定理が知られておらずルート系の理論が未整備であることが挙げられる．本研究課題では，対称空間を含む簡約型実球等質空間に対して，カルタン分解を具体的に与え，制限ルートの集合の構造を明らかにする．また，本研究の調和解析への応用として，簡約型実球等質空間の不変測度を制限ルートによって明示的に与えることを目指す．
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| Outline of Annual Research Achievements |
（１）階数1型の非対称な簡約型実球等質空間は局所同型を除いて7種類存在する．これらに対して，カルタン分解の理論，カルタン分解に付随する制限ルートの計算，および不変測度のカルタン分解に沿った積分公式による特徴付けに関する研究成果をまとめた論文が査読を経て正式に受理された．当該論文は，``Invariant measures on non-symmetric reductive real spherical homogeneous spaces of rank-one type''というタイトルでProgress in Mathematicsの小林俊行教授還暦記念号に掲載受理され今後出版予定である．
（２）階数が2以上の非対称な簡約型実球等質空間の不変測度に関するカルタン分解に沿った積分公式を明示的に与えるという研究がより精緻なものとしてまとまった．カルタン分解に現れる可換部分の具体的構成は小林俊行氏によって導入された編み上げの手法が鍵となるが，不変測度を特徴付ける積分公式の導出においてもこのアイディアが有効に活用されることについて理論立てて整理することができた．
（３）（１）および（２）について，2023年6月に東京大学数理科学研究科で開催されたLie群論・表現論セミナー／トポロジー火曜セミナーとの合同セミナーで講演を行った．特に，簡約型複素球等質空間における可視的作用および不変測度について結果を発表した．また，2023年11月にチュニジア共和国モナスティールで開催された国際研究集会「7th Tunisian-Japanese Conference ``Geometric and Harmonic Analysis on Homogeneous Spaces and Applications''においてplenary talkを行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
2022年度に階数1型の非対称な簡約型実球等質空間に対する成果を論文にまとめたものが，査読を経て掲載受理に至ったことは大きな成果である．また，階数2以上の非対称な簡約型実球等質空間についても2023年度に改めて精緻に研究を重ねた結果，その成果がまとまり論文執筆に至っている．
一方で，論文を完成し投稿するまでにまだ時間を要すると考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
階数が2以上の（対称空間でも階数1型の非対称な簡約型実球等質空間でもない）簡約型実球等質空間に対する不変測度に関する積分公式について本研究課題で得られた成果を論文にまとめて投稿することが第一目標である．また，本研究成果について今後も国内外の研究集会で発表することを目指す．
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Report
(5 results)
Research Products
(15 results)
