Study on curvatures from the viewpoint of new convexities and its application to geometric analysis
| Project/Area Number |
19K03494
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
高津 飛鳥 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (90623554)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2019: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | 凹性 / 熱流 / 情報幾何 / 最適輸送 / 固有値問題 / 曲率 / 最適輸送理論 / 凸性・凹性 / リッチ曲率 / 凸性 / 熱方程式 |
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| Outline of Research at the Start |
H.J.BrascampとE.H.Liebが1976年に打ち出した不等式により、対数凹性はユークリッド空間の熱流に対する最適な凹性とみなされ、長年の間、熱流の大域解析の軸となっていた。しかし申請者は東京大学の石毛和弘氏とフィレンツェ大学のPaolo Salani氏との共著にて、ユークリッド空間の熱流が保つ凹性の中で最も強い凹性が対数凹性ではないことを証明し、さらに最強の凹性が何であるかを決定した。
申請者は確率測度のなす空間上の相異なる幾何であるWasserstein幾何と情報幾何の既存の理論を、この最強の凹性を用いて同時に一般化し、そして両幾何を融合して新概念を導出をすることを目指す。
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| Outline of Annual Research Achievements |
熱流に関する幾何解析、とくに形状保存則に関する解析を進めた。具体的には、石毛和弘氏（東京大学）とPaolo Salani 氏（フィレンツェ大学）との共同研究を進め、その結果、三編の共著論文が出版された。共著論文の一つである「Hierarchy of deformations in concavity」では、情報幾何の概念である変形対数関数族に関する考察を深め、凹性の観点から変形対数関数族に対する階層構造を与えた。この階層構造は、凸関数の分類である displacement convexity class に対応する。そして displacement convexity class は、最適輸送理論を用いて空間のリッチ曲率の下限および上限を調べる際に中心的役割を担う。そこで今後は、この階層構造を用いた曲率に関する幾何解析を展開することを目指す。また、両氏との他の共同研究として、ユークリッド空間の凸領域上のディリクレ熱流下で保たれる凹性に関する必要十分条件を導き出した。以上の共同研究の結果は、学会で講演発表をしている。今後は、この理論をリーマン多様体上の強凸領域上のディリクレ熱流に拡張し、リーマン多様体における Brascamp--Lieb 不等式と熱流下における凹性の保存則の関係を明らかにすることで、リッチ曲率の新たなる性質を導くことを目指す。
その他、有限集合上の最適輸送理論の緩和問題、および最適輸送理論が導くユークリッド空間上の確率測度空間上のsliced Wasserstein 距離関数と呼ばれる距離構造の解析を、他の共同研究者と進めている。これらについては現在、投稿準備中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
熱流に関する幾何解析、とくに形状保存則に関する解析は、研究実績の内容で述べたように順調であり、当初の予定通り進んでいる。
一方で、曲率に関する共同研究は滞っている面がある。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の内容で述べたように、ユークリッド空間における熱流に関する凹性保存則に関しては順調に進んでおり、保存速に関する必要十分条件を得た。今後は、この理論をリーマン多様体に拡張し、リッチ曲率の新たなる性質を導くことを目指す。
手法としては、変形対数関数族の階層構造を用いて、最適輸送理論と情報幾何を融合し、リーマン多様体、より一般には測度距離空間上の幾何解析を展開することを考えている。
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Report
(4 results)
Research Products
(26 results)
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[Journal Article] To logconcavity and beyond2019
Author(s)
Kazuhiro Ishige, Paolo Salani, Asuka Takatsu
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Journal Title
Communications in Contemporary Mathematics
Volume: 印刷中
Issue: 02
Pages: 1950009-1950009
DOI
Related Report
Peer Reviewed / Int'l Joint Research
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