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Research of hierarchy structures of spatial graphs and algebraic invariants

Research Project

Project/Area Number 19K03500
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Review Section Basic Section 11020:Geometry-related
Research InstitutionTokyo Woman's Christian University

Principal Investigator

新國 亮  東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (00401878)

Project Period (FY) 2019-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥2,990,000 (Direct Cost: ¥2,300,000、Indirect Cost: ¥690,000)
Fiscal Year 2021: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Keywords空間グラフ / 絡み目内在性 / Simon 不変量 / Petersen 族 / Conway-Gordon-Sachs の定理 / 結び目内在性 / Legendrian 空間グラフ / 極小リンク集合 / Vassiliev 不変量 / Conway-Gordon の定理 / ハンドル体結び目 / エッジ・ホモトピー / ハンドル体結び目群 / 線形空間グラフ
Outline of Research at the Start

3次元球面に埋め込まれたグラフの幾何学的性質を低次元トポロジーの立場から調べる空間グラフ理論について,基礎及び応用研究を行なう.本研究では,空間グラフの大域的階層構造を具体的に計算可能な代数的不変量を用いて解明する.特に代数的トポロジーに根ざした不変量に着目する点,そして化学における分子トポロジーへの応用を想定する点が大きな特徴である.具体的には,① 空間グラフの補空間の基本群の間の全射準同型の存在性に基づく階層構造とねじれAlexander不変量の研究, ② 線形空間グラフの結び目内在性に基づく階層構造とホモロジー不変量の研究,の2つを柱に据え,空間グラフの大域的階層構造の深い理解を目指す.

Outline of Annual Research Achievements

柴山 祐里佳氏との共同研究により,以下を示した.いま,グラフが絡み目内在であるとは,その任意の空間グラフが非分離絡み目を含むときをいい,この性質は,Petersen 族と呼ばれる7つのグラフから特徴付けられる.これら7つのグラフの任意の空間グラフにおいて,含まれる全ての2成分絡み目の絡み数の総和が奇数となることが知られており,Conway-Gordon-Sachs の定理と呼ばれている.この事実は後に新國,新國-谷山,橋本-新國,O'Donnol らによって,結び目の不変量を用いて,より精密な整数上の等式に持ち上げられた.そこで本研究では,Petersen 族の各グラフについて,絡み目をなすサイクルペアの向きを適当に定めることにより,その絡み数の総和が K_{3,3} に同相なある部分空間グラフの Simon 不変量と呼ばれる整数値不変量に一致することを示した.Simon 不変量が奇数値であることから,これもまた Conway-Gordon-Sachs の定理の整数への持ち上げとなっている.また,特に Petersen グラフについては,サイクルの別の向きを考えると,昨年度の研究で見出された「一般化された Simon 不変量」と呼ばれる代数的不変量と一致することや,向き付け可能閉曲面の間の連続写像の写像度を用いた Conway-Gordon-Sachs の定理の代数トポロジー的解釈,更に高分子化学と関係する線形空間グラフの理論への応用なども合わせて見出した.これらの結果は,柴山氏によって研究集会「結び目の数理Ⅵ」(2023年12月)で発表され,その報告がウェブで閲覧できる(http://www.math.twcu.ac.jp/~mathsciknot6/msk6_proc/4Shibayama.pdf).

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

グラフの絡み目内在性がなす階層構造において極小なグラフである Petersen 族について,代数的不変量に関する新たな知見を見出すことができた.

Strategy for Future Research Activity

当初の計画通り研究を推進する.社会が正常化したので,国内外の研究集会やセミナーに足を伸ばして研究成果の発表や最新の情報の交換及び研究交流を行なう.特に空間グラフの不変量の研究については,Marymount University の Danielle O'Donnol 氏との研究交流及び連携を予定している.

Report

(5 results)
  • 2023 Research-status Report
  • 2022 Research-status Report
  • 2021 Research-status Report
  • 2020 Research-status Report
  • 2019 Research-status Report
  • Research Products

    (22 results)

All 2024 2023 2022 2021 2020 2019 Other

All Journal Article (8 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Peer Reviewed: 8 results,  Open Access: 1 results) Presentation (11 results) (of which Int'l Joint Research: 5 results,  Invited: 10 results) Book (1 results) Remarks (1 results) Funded Workshop (1 results)

  • [Journal Article] 空間グラフのトポロジーと内在的性質2024

    • Author(s)
      新國 亮
    • Journal Title

      数学

      Volume: 76

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Crossing numbers and rotation numbers of cycles in a plane immersed graph2022

    • Author(s)
      Ayumu Inoue, Naoki Kimura, Ryo Nikkuni and Kouki Taniyama
    • Journal Title

      Journal of Knot Theory and Its Ramifications

      Volume: 31 Issue: 11

    • DOI

      10.1142/s0218216522500766

    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Capturing links in spatial complete graphs2022

    • Author(s)
      Ryo Nikkuni
    • Journal Title

      Journal of Knot Theory and Its Ramifications

      Volume: 31 Issue: 03

    • DOI

      10.1142/s0218216522500225

    • Related Report
      2022 Research-status Report 2021 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] 空間グラフのトポロジーと内在的性質2022

    • Author(s)
      新國 亮
    • Journal Title

      数学

      Volume: to appear

    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Generalization of the Conway--Gordon theorem and intrinsic linking on complete graphs2021

    • Author(s)
      Hiroko Morishita, Ryo Nikkuni
    • Journal Title

      Annals of Combinatorics

      Volume: 25 Issue: 2 Pages: 439-470

    • DOI

      10.1007/s00026-021-00536-5

    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Generalization of the Conway-Gordon theorem and intrinsic linking on complete graphs2021

    • Author(s)
      Hiroko Morishita, Ryo Nikkuni
    • Journal Title

      Annals of Combinatorics

      Volume: to appear

    • Related Report
      2020 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Stick number of non-paneled knotless spatial graphs2020

    • Author(s)
      Erica Flapan, Kenji Kozai, Ryo Nikkuni
    • Journal Title

      New York Journal of Mathematics

      Volume: 26

    • Related Report
      2020 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Generalizations of the Conway–Gordon theorems and intrinsic knotting on complete graphs2019

    • Author(s)
      Hiroko Morishita, Ryo Nikkuni
    • Journal Title

      Journal of the Mathematical Society of Japan

      Volume: 71 Issue: 4 Pages: 1223-1241

    • DOI

      10.2969/jmsj/80858085

    • NAID

      130007733303

    • ISSN
      0025-5645, 1881-1167, 1881-2333
    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] 空間グラフの内在的性質に関する最近の話題2023

    • Author(s)
      新國 亮
    • Organizer
      ミニシンポジウム「グラフ理論とその関連分野」, Japanese Conference on Combinatorics and its Application 2023
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Crossing numbers and rotation numbers of cycles in a plane immersed graph2022

    • Author(s)
      木村直記
    • Organizer
      研究集会 「拡大KOOKセミナー2022」
    • Related Report
      2022 Research-status Report
  • [Presentation] Capturing links in spatial complete graphs2021

    • Author(s)
      Ryo Nikkuni
    • Organizer
      Special Session on Spatial Graphs, AMS Sectional meeting (2021 Fall Southeastern Sectional Meeting, formerly at the University of South Alabama)
    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Conway-Gordon の定理と Vassiliev 不変量について2021

    • Author(s)
      新國 亮
    • Organizer
      研究集会「結び目理論」
    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] 完全グラフの結び目内在性と絡み目内在性について2020

    • Author(s)
      新國 亮
    • Organizer
      ミニシンポジウム「結び目理論」, Japanese Conference on Combinatorics and its Application 2020
    • Related Report
      2020 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Linear spatial complete graphs and generalized Conway-Gordon theorems2020

    • Author(s)
      Ryo Nikkuni
    • Organizer
      Knots and Spatial Graphs 2020
    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] On generalizations of the Conway-Gordon theorems2019

    • Author(s)
      新國 亮
    • Organizer
      研究集会 Intelligence of Low-dimensional Topology
    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] A preorder in the set of genus two irreducible handlebody-knot table with up to 6 crossings2019

    • Author(s)
      新國 亮 (小澤 裕子氏, 鈴木正明氏との共同研究)
    • Organizer
      研究会「ハンドル体結び目とその周辺 12」
    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Conway-Gordon の定理の精密化と一般化2019

    • Author(s)
      新國 亮
    • Organizer
      第66回トポロジーシンポジウム
    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] 空間グラフのトポロジー ~外在的性質と内在的性質~2019

    • Author(s)
      新國 亮
    • Organizer
      Summer School 数理物理 2019
    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Generalizations of the Conway-Gordon theorems and intrinsic knotting on complete graphs2019

    • Author(s)
      Hiroko Morishita, Ryo Nikkuni (Speaker)
    • Organizer
      AMS Sectional meeting (2019 Fall Western Sectional Meeting)
    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Book] 空間グラフのトポロジー2022

    • Author(s)
      新國 亮
    • Total Pages
      192
    • Publisher
      サイエンス社
    • ISBN
      9784781915487
    • Related Report
      2022 Research-status Report
  • [Remarks] NIKKUNI Ryo's Website

    • URL

      https://www.lab.twcu.ac.jp/~nick/index-e.html

    • Related Report
      2023 Research-status Report 2022 Research-status Report 2021 Research-status Report 2020 Research-status Report 2019 Research-status Report
  • [Funded Workshop] Special Session on Spatial Graphs, AMS Fall Southeastern Sectional Meeting, formerly at the University of South Alabama, Mobile2021

    • Related Report
      2021 Research-status Report

URL: 

Published: 2019-04-18   Modified: 2024-12-25  

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