| Project/Area Number |
19K03503
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
野原 雄一 明治大学, 理工学部, 専任准教授 (60447125)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2019: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | ミラー対称性 / 旗多様体 / 完全可積分系 / クラスター代数 |
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| Outline of Research at the Start |
(A型の)旗多様体のミラー多様体はクラスター多様体の構造を持つ. この構造は, 特殊線形群の既約表現(旗多様体上の層のコホモロジーとして得られる)の標準基底と深く関わる. この層のコホモロジーはSYZミラー対称性の描像では, 適当な完全可積分系のLagrange切断のFloerホモロジーと同型になると期待される. 2次元部分空間のなすGrassmann多様体の場合には, ミラーのクラスター多様体構造が, Grassmann多様体上の完全可積分系の幾何学から得られることが分かっている. 本研究ではこれを一般化し, 表現の標準基底をFloerホモロジーの立場から理解することを目標とする.
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| Outline of Annual Research Achievements |
A型（特殊線型群）の旗多様体のミラー対称性について、特に、特殊線型群の表現論（旗多様体上の複素幾何）とミラー多様体のLagrange部分多様体に対するFloer理論（シンプレクティック幾何）との関係について研究している。Strominger-Yau-Zaslowによるミラー対称性の描像により、旗多様体上の正則直線束のコホモロジー（すなわち、特殊線型群の既約表現）は、ミラー側のLagrangeトーラスファイブレーションのLagrange切断のFloerホモロジーと同型になると考えられる。本研究では、Lusztig、Berenstein-Zelevinsky らにより導入された表現の“標準基底”と、ミラー側のLagrange切断の交点たちが与えるFloerホモロジーの“標準的”な基底の関係について調べている。旗多様体のような正曲率の多様体（Fano多様体）のミラーは非コンパクトな多様体となり、Lagrange切断としては境界付きのLagrange部分多様体を考える必要がある。この境界条件の設定にはいくつかの流儀がある。昨年度は、角付き多様体内のLagrange切断を考察していたが、それよりもスーパーポテンシャルと呼ばれる関数のレベルセットを境界とするLagrange部分多様体を考える方が良さそうであることが分かってきたため、今年度はこの方向に転換することにした。この方法で定式化するためには、レベルセットの“トロピカル極限”が適切なトロピカル多様体になっていることを確かめる必要があるが、Lagrangeファイブレーションに特異ファイバーがある場合のトロピカル極限の研究はあまりされていないため、2023年度はこの研究を中心に行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
旗多様体のミラー多様体上でLagrange切断のFloerホモロジーを考えるためには、まず特異ファイバーを持つLagrangeトーラスファイブレーションにおいて、ファイバーの直径を小さくする“トロピカル極限”の下での部分多様体の挙動を調べる必要がある。この極限はミラー多様体上のKaehler計量の選び方に依存する問題である。既存の結果にはこのような状況を扱ったものがあまりないため、基本的なことから調べる必要がある。この新たな問題に取り組むことになったため、当初の計画には遅れが生じている。
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| Strategy for Future Research Activity |
2023年度に行った研究で、focus-focus特異点を持つファイバーが存在するLagrangeファイブレーションの理解がある程度進んだ。今年度はこの理解をさらに推し進め、3次元旗多様体の場合に適切なクラスのLagrange切断を構成し、そのFloerホモロジーと既約表現の標準基底の比較を行うことを目標とする。
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