Study on the nuclear dimension of operator algebras
| Project/Area Number |
19K03516
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12010:Basic analysis-related
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| Research Institution | Kyushu University (2020-2023)
Kyoto University (2019) |
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Principal Investigator |
佐藤 康彦 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (70581502)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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| Keywords | 作用素環 / 分類理論 / 核型次元 / 条件付き期待値 / 分類戦略 / 分類定理 / KMS-状態 / 非単純 / Jiang-Su環 / KMS状態 / 力学系 / Toms-Winter 予想 / Jiang-Su 環 / KMS 状態 / 分解階数 / 2-positive / 接合積 / トレース空間 / 分類可能性 |
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| Outline of Research at the Start |
この研究では作用素環とよばれる無限次元の数学的対象から, ある種の有限な量を取り出す事が目的である. 作用素環は元々 J. von Neumann による量子力学の数学的な定式化に端を発し, 現在では非可換幾何学や自由確率論といった分野の母体となり, 様々な応用が得られてきた.
本研究は作用素環の核型次元と呼ばれる数に焦点を絞り, 作用素環の分類定理を検証する国内初の研究課題である. 既に国内で盛んに研究されているvon Neumann 環論や群作用の技術を, 核型次元という新たな研究対象に活かすという点で, 今までに無い化学反応が起こり, 大きな結果へつながると期待する.
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| Outline of Annual Research Achievements |
最終年度は作用素環の条件付き期待値の研究を行い, E.Kirchberg 氏の残した条件付き期待値に関する問題を解決した. 弱位相で閉じたトレースを持つ von Neumann 環とその部分環の間ではいつでもトレースを保存する条件付き期待値の存在が古くから知られている. この問題をノルム位相で閉じたC*環のレベルで自然に考えると簡単な反例が見つかるが 「数理物理でよく現れる CAR 環（UHF環）や無理数回転環とその自己準同型の上では, 条件付き期待値が存在するか？」という問題が Kirchberg氏によって出題されていた. この問題は彼の残した遺稿に公表されていた問題で, 我々の核型次元の研究とは異なる文脈の物であった. しかし, これまでの研究から条件付き期待値の存在は核型な作用素環, 特に核型次元有限な作用素環でよく研究された対象であり, 本研究で主要な Jiang-Su 環と呼ばれる作用素環の自己準同型の条件付き期待値の非存在性が直接応用できる事に気づき, 問題の解決に至った. 本論文は Munster Journal of Mathematics に受理され, 2022年に亡くなった E. Kirchberg 氏のための特別号に掲載予定である.
また, 条件付き期待値の研究に付随した指数定理の研究を核型次元が有限な作用素環に対して行なった. これは上記の研究が条件付き期待値の非存在性に関する話題であるのに対し, こちらは綿谷指数が有限であるという性質の良い自己準同型の構成を目的とした研究である. この研究内容は2024年1月のRIMS研究集会で発表し, 研究に関わる多くの観点や課題を得ることができた.
研究期間全体を通じて, 核型次元有限な作用素環の分類理論を応用し幾つかの未解決問題を解くことに成功した. それらの結果から数理物理の研究へ新たな展望が期待される.
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Report
(5 results)
Research Products
(21 results)
