| Project/Area Number |
19K03528
|
|---|
| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
|
| Allocation Type | Multi-year Fund |
|---|
| Section | 一般 |
|---|
| Review Section |
Basic Section 12010:Basic analysis-related
|
|---|
| Research Institution | Tsuda University |
|---|
Principal Investigator |
中屋敷 厚 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (10237456)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
|
| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
|
| Budget Amount *help |
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2020: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2019: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
|
|---|
| Keywords | KP方程式 / テータ関数解 / ソリトン解 / 特異代数曲線 / 頂点作用素 / 佐藤のグラスマン多様体 / ねじれのない層 / 射影スキーム / テータ関数 / ソリトン / 網目状構造 / 有理曲線 / 佐藤グラスマン / KP階層 / 周期解 / 網目模様 / 超楕円曲線 / 代数曲線 / 準周期解 / 2重点 / タウ関数 / 位相的場の理論の相関関数 |
|---|
| Outline of Research at the Start |
ソリトン方程式の中で最も重要な方程式であるKP方程式の解について研究する。KP方程式の様々な解が代数曲線から構成される。本研究では種数1以上の特異代数曲線に対応するKP方程式の解を具体的かつ系統的に求める。これは従来技術的困難のため放置されていた問題であるが、rogue waveなどの非線形波動の新しい研究動向の観点、および数学内部におけるテータ関数論の観点から重要かつ興味深い問題と考えられる。ここではKP方程式の佐藤理論を用いてこの問題を攻略する。さらに佐藤理論の観点から、位相的場の理論の相関関数の性質の解明も目指す。
|
| Outline of Annual Research Achievements |
代数曲線の退化に伴うKP方程式の解の退化を中心にして研究を行った。特に昨年度に引き続き、KP方程式のテータ関数解に頂点作用素を作用させてできる解に対応する代数曲線について研究した。昨年度の研究で、このような解は元になるテータ関数解に対応する非特異代数曲線の何点かを同一視して得られる特異代数曲線に対応することを示した。ただ結果を論文にまとめるにあたり、再検討した結果、このような主張をするためには、「特異代数曲線に対応する」ということのより正確な数学的定式化が必要であることが判明した。今年度の研究ではこの定式化について研究した。Mumfordによる可環微分作用素と代数曲線の対応の定式化、それを発展させた村瀬による可環微分作用素環の幾何学的分類に関する研究が参考になることが分かり、それを基に次のような結果を得た。
1.得られた解に対応する佐藤のグラスマン多様体の点を固定する可換環の決定, 2.その可換環に存在する自然なフィルター付けを用いた射影スキームの構成、3. その射影スキーム上の階数1のねじれ無しの連接層の構成、4. その連接層のアフィン開集合上の切断の空間を佐藤のグラスマン多様体に埋め込んだ点に対応するKP方程式の解が考えている解に一致することの証明、5. 元になるテータ関数解に対応する非特異代数曲線が、このように構成された射影スキームの正規化になることの証明。
以上の結果を昨年度の結果に組み込んで現在論文を執筆中である。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
特異代数曲線に対応するKP方程式の解の研究で、結果の定式化の研究に丸1年間かかったのは、当初の計画の想定外であったためと、佐藤のグラスマン多様体の一般の点に対応する代数曲線の構成について進展がなかったためである。
|
| Strategy for Future Research Activity |
KP方程式のテータ関数解に頂点作用素を作用させて得られる解は背景がテータ関数解であるようなソリトン解であることが昨年度の研究で確認されたのであるが、背景の波動とソリトン解の波動の相互作用、特に位相のずれ、の計算、および最近Sturmfelsを中心とするドイツのグループによって研究されている代数曲線のトロピカル極限を用いたテータ関数の極限の研究との関係の解明、が現時点で最も興味のある重要な研究方向であると考えられるため、その方向に絞って研究を推進する。
|
Report
(4 results)
Research Products
(6 results)
