マルコフ過程の経路及びその加法汎関数の大域的性質とその安定性

• Project/Area Number: 19K03552
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12010:Basic analysis-related
• Research Institution: Kansai University
• Principal Investigator: 上村 稔大 関西大学, システム理工学部, 教授 (30285332)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 富崎 松代 奈良女子大学, その他部局等, 名誉教授 (50093977)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000); Fiscal Year 2023: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000); Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000); Fiscal Year 2021: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000); Fiscal Year 2020: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2019: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
• Keywords: ディリクレ形式 / マルコフ過程 / ソボレフ空間 / 飛躍型マルコフ過程 / Dirichlet 形式 / Hardy 不等式 / Homogenization / 対称安定過程 / 対称ジャンプ拡散過程 / 2-scale 収束 / 均質化問題 / Mosco収束 / 均質化法 / Mosco 収束 / Dirichlet 形式気 / ジャンプ拡散過程 / 特異な Levy 測度 / 退化する Levy 測度 / Markov 過程 / 加法汎関数

Outline of Research at the Start

本研究は，Dirichlet 形式に付随する Markov 過程から駆動される加法汎関数の収束とその安定性を Dirichlet 形式の収束論を通して研究することである．特に，変分不等式論の研究に際して用いられる様々な収束の概念（Gamma-収束，H-収束，G-収束及びMosco 収束等）について，Markov 過程の汎関数の系列の収束性及び加法汎関数の経路の性質の安定性について適用可能かどうかを検討し，偏微分方程式に対応する拡散過程に止まらず，飛躍を持つ Markov 過程に対する均質化問題への接近を試みる，

Outline of Annual Research Achievements

原点で特異性をもつ，あるいは退化するLevy密度をもつ飛躍型の対称なα安定型過程について引き続いて検討を行った．特に，Levy密度が原点で特異性をもつ（原点でベータの位数で発散あるいは退化する）ときに，対応するマルコフ過程の経路が原点付近から脱出する時間の期待値の上からの評価をαとβを用いて導出することができた．特に，退化する場合は，経路は原点に引き寄せられると考えられるためβの（マイナスの符号の）位数で押しとどめられる．逆に，原点で発散する場合は，経路は原点から素早く離れようとすると考えられるためβの（プラスの符号の）位数で原点から推進して離れようとする力が働くことがわかった．一方，そもそも原点への到達確率については，到達しない（到達する確率が零となる）ことが，α及びβだけでなく，マルコフ過程の状態空間の次元にも依存することもわかった．なお，原点で発散する場合については，原点に到達する可能性が十分にあるが，それを定量的に評価するところまでは進めることができなかった．
関連すると話題として，マルコフ過程の生成作用素，あるいは対応するディリクレ形式の定義域についても検討を行った．特に，2階の楕円型偏微分作用素に，飛躍型作用素と呼ばれる特異積分作用素を付け加えた作用素の定義域が，特異積分作用素を定めるLevy密度に一定の条件を置くことで，１位のソボレフ空間と一致することが分かった．従って，状態空間の領域が有界であれば，対応する半群がコンパクト作用素となることを示すことができた．これは，２０２３年１２月に熊本で開催された確率論セミナーにおいて発表した．

Research Products

• [Int'l Joint Research] Institute of Mathematical Stochastics/TU Dresden(ドイツ)
• [Journal Article] Criticality of Schrodinger forms and recurrence of Dirichlet forms (2023)
  • Author(s): Takeda Masayoshi、Uemura Toshihiro
  • Journal Title: Transactions of the American Mathematical Society Volume: 376 Issue: 6 Pages: 4145-4171
  • DOI: 10.1090/tran/8865
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Homogenization of symmetric Dirichlet forms (2022)
  • Author(s): TOMISAKI Matsuyo、UEMURA Toshihiro
  • Journal Title: Journal of the Mathematical Society of Japan Volume: 74 Issue: 1 Pages: 247-283
  • DOI: 10.2969/jmsj/85268526
  • NAID: 130008144260
  • ISSN: 0025-5645, 1881-1167, 1881-2333
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] On Symmetric Stable-Type Processes with Degenerate/Singular Levy Densities (2021)
  • Author(s): Okamura Haruna、Uemura Toshihiro
  • Journal Title: Journal of Theoretical Probability Volume: - Issue: 2 Pages: 809-826
  • DOI: 10.1007/s10959-020-00990-6
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Homogenization of symmetric Levy processes on R^d (2021)
  • Author(s): Rene L. SCHILLING and Toshihiro UEMURA
  • Journal Title: REVUE ROUMAINE DE MATHEMATIQUES PURES ET APPLIQUES Volume: 66 Pages: 243-253
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Presentation] On some estimates of symmetric stable-type processes with singular/degenerate Levy densities (2024)
  • Author(s): 上村稔大
  • Organizer: 新潟確率論ワークショップ 2024
• [Presentation] 対称 α-安定型過程のいくつかの性質について (2024)
  • Author(s): 上村稔大
  • Organizer: 佐賀大学 ワークショップ
• [Presentation] On semi-Dirichlet forms of jump-diffusion processes based on Sobolev space (2023)
  • Author(s): 上村稔大
  • Organizer: 熊本大学確率論セミナー
• [Presentation] On some topics of the Mosco Convergence of Dirichlet forms (2023)
  • Author(s): 上村稔大
  • Organizer: RIMS合宿型セミナー/均質化法と非局所型作用素
• [Presentation] Introduction to Periodic Homogenization (2023)
  • Author(s): 上村稔大
  • Organizer: 九州大学 IMI/離散微分型式と均質化法の融合による 異方性を持つ場の数値計算手法の開発と産業への応用
• [Presentation] Some Remarks on Mosco Convergence of Symmetric Dirichlet Forms (2023)
  • Author(s): 上村稔大
  • Organizer: 慶応大学/マルコフ過程と関数論
• [Presentation] On H-convergence of elliptic operators with divergence-free drifts (2022)
  • Author(s): Toshihiro Uemura
  • Organizer: SEMINAR SERIES ON ANALYSIS AND PDE
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Some estimates on symmetric stable type processes with singular densities (2022)
  • Author(s): Toshihiro Uemura
  • Organizer: The MFO-RIMS Tandem Workshop ''Nonlocality in Analysis, Probability and Statistics''
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 特異なLevy 密度を持つ対称Levy型過程について (2022)
  • Author(s): Toshihiro Uemura
  • Organizer: 日本数学会 2022年度年会
• [Presentation] Homogenization of Diffusion Processes with Drifts via Unfolding (2021)
  • Author(s): Toshihiro Uemura
  • Organizer: The 10th International Conference on Stochastic Analysis and its Applications
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Some estimates of symmetric stable-type processes with singular or degenerate Levy densities (2021)
  • Author(s): Toshihiro Uemura
  • Organizer: The 16th International Workshop on Markov Processes and Related Topics
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 対称 Dirichlet 形式の均質化について (2021)
  • Author(s): Toshihiro Uemura
  • Organizer: 日本数学会年会
• [Presentation] On symmetric stable-type processes with singular/degenerate coefficitents (2020)
  • Author(s): Toshihiro Uemura
  • Organizer: Theory of Markov Semigroups and Schrodinger Operators, WUT, Poland
  • Invited
• [Presentation] 特異な，または退化する係数を持つ対称安定過程の大域的性質について (2020)
  • Author(s): 上村 稔大
  • Organizer: 日本数学会 年会 2020
• [Presentation] Homogenization of Symmetric Dirichlet Forms (2019)
  • Author(s): Toshihiro Uemura
  • Organizer: Japanese-German Open Conference on Stochastic Analysis 2019
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Funded Workshop] International Workshop on Probability at Kansai University (2020)
• [Funded Workshop] International Workshop on Stochastic Analysis and Applications (2019)