Fundamental theory of reaction-diffusion equations with variable coefficients---a panorama in Turing's sight
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19K03557
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
高木 泉 東北大学, 理学研究科, 名誉教授 (40154744)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
鈴木 香奈子 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 准教授 (10451519)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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| Keywords | 反応拡散系 / 変数係数微分方程式 / パターン形成 / 不連続定常解 / 受体－配体模型 / 配体ー受体モデル / 配体－受体モデル / 反応拡散方程式系 / 変数係数 / 受容体―結合基反応 / 反応拡散方程式 / 一次パターンと二次パターン / 空間的非一様性 |
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| Outline of Research at the Start |
生物の発生過程では，ほぼ一様な状態から出発し，様々な形が次々と作られていく．Turing はその機序を拡散性物質の相互作用によって生じる「一様な状態の不安定化」に基づく空間的構造の自発的形成と考えた．本研究は，それを一歩進めて，変数係数の反応拡散系が「所与の空間的非一様性を乗り越えて，新たな空間的構造を構築する」ことを明らかにする．これによって，発生過程の複雑な形態形成の各段階で，反応拡散系の生成する先駆パターンが実際の生物の形づくりを制御していくという Turing によって構想された包括的理論が完成する．
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者は，Marciniak-Czochra の受体－配体模型の最も単純化されたものについて，変数係数の場合に，多次元領域における跳躍不連続性をもつ定常解の存在と安定性を証明した．一般の有界領域の場合には，張恭慶による可微分でない汎函数に対する峠の補題を適用した．また，領域が球である場合には，特異摂動法を用いて，球対称な解を構成した（赤木剛朗と張聡暉との共著論文として投稿中）．
また，常数係数の受体－配体模型について，進行波解の構成を行った（侯玲玲，國府寛司，Marciniak-Czochraとの共著論文）．パターンの時間的変化は界面の運動として現れることが多い．進行波解は，界面の運動の理解において出発点となるものである．さらに，分担者と共同で，GiererとMeinhardtによる活性因子ー抑制因子系の進行波解の存在の証明を試みている．数値解を詳細に検討して適切な第一近似を構成することに焦点を絞って研究を行った．
研究分担者は，昨年度行っていた拡散―非拡散系の進行波解の存在に関する解析手法の知見から，適当な変数変換が拡散－非拡散系の爆発解のダイナミクスを解析するために有効なのではないかという予測を得た．そのため，まずは解析に慣れている古典的な反応拡散系を扱い、適当な変数変換の導入を試みた．外力項を含む系について，この外力項を使った適当な変数変換を導入することにより，解のダイナミクスを解析する新たな解析手法が得られることが分かった．ここでの手法を最も単純な２連立の拡散－非拡散系に適用し，無限時間かけて解が無限大へ行く現象の解析に取り組んでいるところである．
新たな視点から解析を行ったため，解の時間大域的挙動に予測を立てるために数値実験を行うことにも時間を割いた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
Marciniak-Czochraが提唱した受体－配体模型について，高次元領域における定常解の存在と安定性について研究成果をまとめた論文を投稿した．また，定数係数の場合に進行波解の存在を証明した論文の掲載が決まった．このように，本研究の成果の意義が認められてきた．
一方において，Covid-19 感染対策のため，予定していた2022年度における国際研究集会の開催ができなかった
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| Strategy for Future Research Activity |
本年初冬までに国際研究集会を開催する
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Report
(4 results)
Research Products
(17 results)
