表面拡散方程式によって時間発展する曲線・曲面の形状と特異性の解析
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19K03562
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
高坂 良史 神戸大学, 海事科学研究科, 教授 (00360967)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石井 克幸 神戸大学, 海事科学研究科, 教授 (40232227)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2020: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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| Keywords | Willmore流 / 閾値型近似アルゴリズム / 4階線形熱方程式 / 閾値型アルゴリズム / 自己相似解 / 表面拡散方程式 / 進行波解 / 幾何学的発展方程式 / 4階放物型偏微分方程式 / Delaunay曲面 / 表面拡散 |
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| Outline of Research at the Start |
表面拡散は普遍的な原子の輸送機構であり、その形態変化は物理現象として複雑かつ多彩で、表面拡散による界面の形態変化の解析は研究対象として興味深いものである。本研究では、表面拡散による界面の形態変化を表すモデル方程式の1つである表面拡散方程式を研究対象とし、表面拡散方程式によって時間発展する曲線・曲面の時間大域的な挙動や、その過程で現れるトポロジカルな変化をともなう特異性とその発生前後の挙動を解析学的に明らかにする。
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| Outline of Annual Research Achievements |
Willmore汎関数に2次元の場合は長さ汎関数、3次元の場合は表面積汎関数の定数倍を加えたエネルギー汎関数の勾配流について閾値型近似アルゴリズムの研究を行なった。この勾配流に関しては、4階拡散方程式に空間変数に関するラプラシアンを加えた線形4階放物型偏微分方程式の基本解の漸近展開をもとに閾値型近似アルゴリズムを形式的には構成できる。本年度は2次元のWillmore流の場合に、この近似アルゴリズムによって実際にWillmore流による曲線の運動が数値計算できることを、榊原航也氏(岡山理科大学->金沢大学)と共に確認した。この数値計算では4階拡散方程式の数値解をFourier級数をもとに構成したが、空間方向の格子幅と時間方向の格子幅の取り方により、初期曲線の形状によっては数値計算が安定しない場合があることが分かった。現在は4階拡散方程式の数値解を陰解法で求めた場合に空間方向の格子幅と時間方向の格子幅の取り方によらず数値計算が安定するかを検討中である。また、石井克幸氏(神戸大学)、三宅庸仁氏(東京大学)と共に、近似解の収束先となる適切なWillmore流の広義解の構成についてOtto等の論文をもとに検討した。その結果、4階拡散方程式の積分核のトレースの漸近展開から近似エネルギー汎関数を導出し、その汎関数をもとに変分的時間離散近似から得られる広義解を考えることで、収束性が示される可能性があることが分かった。今後はこのアイデアをもとに近似解の収束先となる適切なWillmore流の広義解の構成及びその広義解への収束証明を試みる予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
得られたWillmore流の閾値型近似アルゴリズムの収束証明まで行う予定であったが、近似解の収束先となる適切なWillmore流の広義解が明らかでなく収束証明を得ることができなかったため、進捗状況は「やや遅れている」と判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
得られたWillmore流の閾値型近似アルゴリズムは、4階拡散方程式の積分核のトレースの漸近展開と関係していることがうかがえる。今後はこの考察をもとに、近似解の収束先となるWillmore流の広義解の構成及びその広義解への収束証明を試みる。
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Report
(4 results)
Research Products
(12 results)
