軌道の存在確率密度をもつ力学系の大域挙動に関する研究

• Project/Area Number: 19K03585
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
• Research Institution: Kumamoto University
• Principal Investigator: 鷲見 直哉 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (50301411)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2023-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2019)
• Budget Amount: ¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000); Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000); Fiscal Year 2021: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000); Fiscal Year 2020: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000); Fiscal Year 2019: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
• Keywords: 解析学 / 力学系 / エルゴード理論

Outline of Research at the Start

本研究では，互いに異なる周期軌道の組に対して，一方の軌道の近くから他方の軌道の近くに移動する別の軌道がある，という局所的な条件から，次の大域的な力学系の性質(a)と(b)を導く：(a)すべての軌道の存在確率密度が決まるならば，この存在確率密度は一意的に決まる．(b)有限時間での軌道の存在確率密度と，無限に時間が経過した軌道の存在確率密度との差は，エントロピーとポテンシャルという２つの値を用いて具体的に表示できる．
更に，次の結果(c)を導く：(c)稠密な軌道をもつ可微分力学系が，摂動を加えてもその性質を失わないならば，性質(a)と(b)を満たす．

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は，軌道同士の振舞いに関するある局所的な条件から，軌道の存在確率密度に関する次の大域的な性質(1)と(2)を導くことである：(1)すべての軌道の存在確率密度が決まるならば，この存在確率密度が一意的に決まる．(2)有限時間での軌道の存在確率密度と，無限に時間が経過した軌道の存在確率密度との差は，エントロピーとポテンシャルという２つの値を用いて具体的に表示できる．
特に本研究では，互いに異なる軌道の組に対して，一方の軌道の近くから他方の軌道の近くに移動する別の軌道がある，という局所的条件のみから上の性質(1)と(2)を導くことを目的とする．
更に，本研究の応用として，次の結果(3)を導く：(3)稠密な軌道をもつ可微分力学系が，摂動を加えてもその性質を失わないならば，性質(1)と(2)を満たす．
(3)に関連して，擬軌道追跡性という位相的な条件を扱った．擬軌道追跡性とは，軌道を摂道して得られる擬軌道が必ず真の軌道で追跡できるという性質であり，稠密な軌道をもつという条件と合わせたとき，存在確率密度の一意性を導く可能性がある条件である．酒井氏・守安氏との共同研究で，測度に対する擬軌道追跡性を定義し，鎖回帰集合を台として持ち擬軌道追跡性をもつ不変確率測度が存在するための必要十分条件を与えた．また，酒井氏との共同研究において，擬軌道の全体が確率1となるような測度を与えて，擬軌道追跡性をもつための必要十分条件を与えた．これらの結果は論文として投稿し，掲載が決定している．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

今年度の研究では，擬軌道追跡性と存在確率密度の一意性との関係までは導くことができなかったため．

Strategy for Future Research Activity

研究実績の概要で述べた局所的条件から，大域的性質(1)と(2)を導くことを次年度の目標とする．(1)については，全ての周期点の組みに対して、その安定集合と不安定集合が位相的横断的な交点をもつ力学系に対して，存在確率密度の一意性を示す．(2)については，強横断性を満たす公理A力学系に対して，有限時間での軌道の存在 確率密度と，無限に時間が経過した軌道の存在確率密度との差を評価する．