Research on the eigenvalues and the eigenfuctions of elliptic partial differential operators with applications to nonliear problems
| Project/Area Number |
19K03588
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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| Research Institution | Osaka Metropolitan University (2022)
Osaka Prefecture University (2019-2021) |
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Principal Investigator |
壁谷 喜継 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (70252757)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2019: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | 線形化固有値問題 / 分岐解析 / ルジャンドルの陪関数 / ベッセル関数 / 固有値 / 固有関数 / Gel'fand 問題 / スカラーフィールド型非線形楕円型方程式 / 分岐構造 / 特異解 / Laplace-Beltrami 作用素 / ねじれ関数 / 楕円型偏微分方程式 / 球面 / 楕円型偏微分作用素 / 分岐解 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究目的は、以下のことを主題として、固有値・固有関数に関する数学的な解明にあたることである。まず、以下の１と２について調べあげ、領域の形状と固有値・固有関数の関係を明らかにする。その知見を生かして、動物の被毛パターンをモデルとするような非線形方程式の解の安定性解析など非線形問題へ応用し、非線形問題を解明することである。
１．領域の形状と楕円型偏微分作用素の固有値・固有関数の関係。
２．領域の摂動と固有値の漸近挙動の関係。
３．動物の被毛パターンを記述とする方程式など非線形問題の安定解と分岐論との関係。
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、球対称解において不完全分岐を起こすことが知られている（過去の私の研究成果）球面帽上の非線形楕円型偏微分方程式の Dirichlet 問題の正値解について研究し、Legendre の陪関数の性質を駆使して、非球対称な固有関数に対応する固有値の漸近的な挙動をまず解明した。その後、非球対称な固有関数の周りでの分岐解析を行い、非球対称な固有関数に関しては、定数解に近い解からの局所分岐が起こっていることを解明した。これにより、球面帽領域での不完全分岐は球対称解のみで起こることが解明できた。
また、同様な解析を、ユークリッド空間内の球における非線形楕円型偏微分方程式の第三種境界値問題にも適用した。この場合も、球対称解は不完全分岐を起こすことが知られている（過去の研究成果）が、Bessel 関数の性質を駆使した非球対称な固有関数の周りでの分岐解析により、球面帽領域で解明できたことと同様に、定数解に近い解からの局所分岐が起こっていることを解明した。但し、第三種境界条件のパラメータは、Neumann 境界条件に近い場合に限られる。これらの結果は、線形化固有値問題を精密に解析し、特殊関数の性質を駆使することによって得られたものである。これらの研究成果は、国内で開催された国際研究集会で１度、国内集会で複数回講演発表を行ったが、残念ながら今年度中に学術誌に投稿するまでは至らなかった。
なお、本年発表の研究内容は、スイス・バーゼル大学の Catherine Bandle 名誉教授と明治大学総合数理学部の二宮広和教授との共同研究によるものである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
コロナ対策が緩和され、研究成果の講演発表は何度か行うことができたが、研究内容を学術誌に投稿するには至らなかったため。
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| Strategy for Future Research Activity |
線形化固有値問題の解析を含んでいる、昨年度中に投稿できなかった原稿を早急に仕上げて学術雑誌に投稿する。また、AIMS Conference など国際研究集会に参加して講演発表を行い、成果発表と共に意見交換を行う。また、Choquard 方程式という、ヘリウム原子の電子の挙動を記述する連立楕円型方程式についての解析も推進する。研究状況によっては、連合王国 Swansea 大学の Moroz 教授、あるいは、台湾國立師範大學の陳建隆教授、もしくは、韓国 Hanbat 大学の Bae 教授を訪問して意見交換を行い、研究の推進に努める。
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Report
(4 results)
Research Products
(26 results)
