| Project/Area Number |
19K03590
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
生駒 典久 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (50728342)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥3,770,000 (Direct Cost: ¥2,900,000、Indirect Cost: ¥870,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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| Keywords | Monotonicity Trick / 峠の定理 / Born Infeld 方程式 / L^2 正規化解 / 正値解 / L^2正規化解 / 解の多重存在 / Born-Infeld方程式 / 有界な Palais-Smale 列 / 光線(light segment) / L^2正規化問題 / ポテンシャル / Joseph-Lundren指数 / 安定解 / 台が有界な非自明解 / 漸近挙動 / 光線の非存在 / 非自明解の存在 / 非存在 / 劣線形項 / 最小エネルギー解 / 非線形楕円型方程式 / 解の存在，非存在 / 解の性質 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究課題は非線形楕円型方程式と呼ばれる偏微分方程式に対し，特定の性質を持った解の存在(および非存在)を明らかにすることを目標としている．本課題で扱う方程式は，物理学など数学以外の分野において現れるものや幾何学と関連が深いものである．これらの方程式については自明な解と呼ばれる解以外(それらを非自明解と呼ぶ)については解を具体的に書き下すことはできず，非自明解の存在自体が知られていない．本課題では，非自明解の存在を証明することを目標にしているが，それと同時に見つけた非自明解がどのような性質を持っているかについても明らかにしたい．
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| Outline of Annual Research Achievements |
最終年度は次のテーマについて研究を実施した: (a) 微分可能とは限らない汎関数に対する(対称)峠の定理とMonotonicity Trick，(b) L^2臨界であるL^2正規化解の存在．
(a) Banach空間上の微分可能とは限らない汎関数に対し，Monotonicity Trick と呼ばれる手法が適用できることを示し，有界なPalais-Smale列が得られることを示した．さらに汎関数が対称性を持つ場合，正の無限大へと発散する汎関数の臨界値が存在することを示した．またこれらの定理を非線形反応項を伴うBorn-Infeld方程式に応用し，正値解と可算無限個の非自明解の存在を示した．
(b) L^2臨界である非線形反応項を持つ非線形Schroedinger方程式に対し，少なくとも1つ非自明解が存在することを示した．さらに特殊な状況では非自明解が少なくとも2つ存在することも証明できた．一方，非線形反応項に対する仮定を少し変更してしまうと非自明解がなくなることも証明できた．
研究期間全体を通しては特異性のある方程式(Born-Infeld方程式)に対し，解の存在と非存在，最小化元の正則性，非線形反応項を持つ方程式に対する解の多重存在等，纏まった成果を得ることが出来た．また分数冪作用素を含む方程式についても解の存在やその性質についても解明することができた．これら以外にも研究期間を通じて発見した研究課題(劣線形反応項を持つ方程式の解の存在とその性質，L^2劣臨界非線形反応項とポテンシャル項を持つL^2正規化解の存在問題等)についてもある程度解明することができた．
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Report
(5 results)
Research Products
(34 results)
