| Project/Area Number |
19K03593
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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| Research Institution | Ryukoku University |
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Principal Investigator |
四ツ谷 晶二 龍谷大学, 公私立大学の部局等, 研究員 (60128361)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
森田 善久 龍谷大学, 理工学部, 教授 (10192783)
川上 竜樹 龍谷大学, 理工学部, 教授 (20546147)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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| Keywords | 非線形境界値問題 / 完全楕円積分 / 楕円関数 / 交差拡散方程式 / 反応拡散方程式 / 極限方程式 / 非局所 / 線形化固有値問題 / 非局所境界値問題 / 大域的解構造 / 安定性解析 |
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| Outline of Research at the Start |
非局所項が含まれることにより，従来の境界値問題に対する個々の解法や解構造の数学的解析手法だけでは不十分である．我々は，特に，非局所項が求めるべき解の定積分となっている，典型的な境界値問題に焦点を当てて，楕円関数を用いて，個々の方程式の全く新たな解法を発見して，定常解の大域的構造の数学的解明にも有効である独自の方法を開発し発展させてきた．
非局所項を未知の定数とした補助的境界値問題のすべての解の楕円関数を用いた表示式を求めて，非局所項と同値な楕円積分を含む超越方程式を導出し，それを解く手法を発見し，さらに数理モデル中のパラメータを動かしたときの解全体の大域的構造を調べる．
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| Outline of Annual Research Achievements |
概要は以下の通りである．
１）研究代表者四ツ谷は，細胞極性の発現の数理モデルおよび合金等の凝固現象を記述する数理モデルに関する２編の論文を発表した．第１の論文では，拡散係数を∞とした定常極限方程式のすべての解表示とともに，すべての大域的分岐ダイアグラムの具体的な表示式を得た．全ての解表示までは求めていたがダイアグラムの表示式はより高度な問題であり，表示式をここ十年間探していたがようやく発見できた．これによりダイアグラムの全容の詳細が明らかになった．第２の論文では１次元定常問題の大域的分岐ダイアグラムの特徴付けに成功した．この問題も積分制約条件をもつ非局所境界値問題であるために，分岐ダイアグラムの特徴付けは既存の手法では困難であった．本研究課題の研究進展の上に立って，改めて問題を見直し新しいアイデアを付け加えることにより特徴付けに成功した．
２）分担者森田は，非有界なメトリックグラフ上のフロント波の伝播とブロッキングについて条件を考察した２編の論文を発表した．第１の論文は，Lotka-Volterra競合拡散系で，双安定な場合なパラメータ条件の場合に，定在波が存在する十分条件を与え，そのときにブロッキングは起こることを議論している．第２の論文はスカラーの双安定な反応拡散方程式について，ジャンクションが２つある場合に，ブロッキングが起こる定在波の存在について調べ，数値的に定在波の分岐構造も明示している．
３）分担者川上は，半空間における動的境界条件を有する熱方程式の可解性について,基本解の構成を目指すという観点から改良を行った.これまでは有界な初期値に対してのみ可解性が得られていたが,境界上の初期条件は恒等的にゼロとするものの,適当な重み付き空間を導入することにより,領域内部についてはこれまでの初期条件を拡張し, より広いクラスに属する解の可解性を得ることができた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究目的としている非局所項を含む問題のうち，非局所項を含むアレン・カーン方程式，細胞極性の発現の数理モデルの拡散係数を∞とした定常極限方程式については研究計画以上の成果を得た．
さらに，これらの成果を踏まえて，従来未解明で困難と思われていた，合金等の凝固現象を記述する数理モデルの定常解問題の１次元全定常解のすべての大域的分岐ダイアグラムの明解な特徴付けを得ることができた．
他の課題は，これらの課題解決に集中してきたため若干遅れがみられているが，最近発見した新たな手法が有用であると思われる．
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| Strategy for Future Research Activity |
いくつかの典型的な問題ですべての定常解の大域的ダイアグラムの特徴付けは得ることができたが，時間発展問題の解の数学的な安定性の解析のためには，分岐曲線の二次分岐点での詳しい幾何学的形状や分岐後の曲線の単調性を数学的に示すことが必須となる．既存研究は全くない状況なので，新たな手法を発見しこれらの問題に取り組んで行きたい．
コロナウイルスの影響のため，対面での研究打合せ研究集会参加を控えてきたが，研究期間延長が許可されたので，研究打合せや研究集会出席を積極的に行い研究を発展させてまとめていきたい．
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