| Project/Area Number |
19K03668
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 13010:Mathematical physics and fundamental theory of condensed matter physics-related
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
南 和彦 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (40271530)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2023: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2022: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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| Keywords | 格子模型 / 厳密解 / 保存量 / free fermion / 伝送行列 / 数理物理 / 可解格子模型 |
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| Outline of Research at the Start |
新しく見出された対角化の方法による、2次元量子スピン系の厳密解の研究である。ハミルトニアンの各項が条件をみたすとき、交換関係と周期のみから自由エネルギーが厳密に導かれることを、申請者が見出した。条件をみたす演算子列から解ける模型が得られ、解くための変換も同時に自動的に得られる。既知の主要な模型の多くが、この方法で同じ手順で対角化できている。この手法を基礎に以下のテーマを扱う：
1) Kitaev模型を特殊な場合として含む2次元系の可解模型の系列
2) この手法による新しい2次元量子系の厳密解
3) 手法自体の拡張による可解模型の新しいクラス
4) 等価性、CFT、量子計算に関連する磁性物質等への応用
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| Outline of Annual Research Achievements |
相互作用や外部磁場など、ハミルトニアンを構成する演算子がある種の代数構造を持つとき、それを free fermion系に変換して対角化できる。これが本研究課題の出発点となる手法である。この変換はJordan-Wigner変換の代数的な一般化とみなすことができる。この方法によって既に解かれている代表的な可解模型が対角化され、またJordan-Wigner変換では解けない模型も対角化される。またこの手法に現れる演算子から、2次元Ising模型の代数構造であるOnsager代数が生成される。
量子多体系において、保存量はその可積分性にかかわるとともに、系の物理的な性質にも大きな影響を及ぼす。例えば孤立量子系の平衡化において、局所的な保存量が自由度と同程度の数だけ存在するとき、系は通常の平衡状態には行かず、保存量によって拘束された振る舞いを示す場合がある。
以前、K.Minami, J.Phys.Soc.Jpn.(2016)で導入したfermion化の方法によってK.Minami, Nucl.Phys.B (2017)において加算個の可解模型を構成したが、そのそれぞれに対して加算個の保存量の存在を示し、その具体的な表式を得ることができた。
そのうちtransverse Ising模型の場合にはM.Grady 1982、L.Doran and M.Grady 1982、T.Prosen 1998、Y.Chiba 2024によって求められた保存量を再現し、また別にOgura et al. 2021の保存量が現れ、またそれとは別のD.B.Uglov and I.T.Ivanov 1996によって得られた保存量も再現する。結果は投稿準備中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2023年度の前半は、1次元量子系とそれに等価な2次元古典系の対角化について詳細な計算を実行した。この計算はまだ継続しているが、一方で保存量について短い論文を書こうと思って始めた仕事に、当初の予想よりも時間がかかっている。
保存量を求める際には、交換関係の結果として得られる演算子をある種の樹形図を書いて分類するという直接的な方法がとられることが多いが、本研究ではHamiltonianとの交換関係の表現行列を一般的に書き下し、その固有値が0である固有空間の基底を求めることによって、可算個の模型に対して保存量を同時に書き下した。その結果は現在までに知られている結果を含み、さらに可算個の模型について新しい結果を与える。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記の可算個の1次元系について、すべての保存量を求められないかどうかを調べている。また同じ手法で扱うことができるいくつかの2次元系についても、同様にして保存量について議論できる可能性がある。特に量子情報などとの関連から興味を持たれている2次元の6角格子Kitaev模型は本研究課題の手法で基底状態を求めることができるので、保存量についてある程度は議論できることが予想される。
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