| Project/Area Number |
19K03825
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 15010:Theoretical studies related to particle-, nuclear-, cosmic ray and astro-physics
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
笹倉 直樹 京都大学, 基礎物理学研究所, 准教授 (80301232)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
佐藤 勇貴 名古屋大学, 高等研究院(理), 特任助教 (70714161)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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| Keywords | テンソル模型 / テンソルのランク分解 / テンソルの固有値問題 / ランダムテンソルの固有値分布 / 量子場の理論 / 時空の創発 / 相転移 / テンソルの固有値方程式 / 量子重力 / 古典時空 / 正準テンソル模型 / リー群対称性の創発 / 行列模型 / 波動関数 / エアリ関数 / リー群 / データ解析 |
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| Outline of Research at the Start |
一般相対性理論と量子力学を一貫した理論体系に組み込む量子重力理論の構築は、基礎理論物理学における最も重要な課題の一つである。本研究計画で扱うのは、そのようなアプローチの一つである「正準形式によるテンソル模型」である。本研究計画の主な目的は、これまでに我々がデータ解析の数学的手法を使って導いた「テンソルと時空との対応関係」を更に発展させ、テンソルと一般相対論における様々な時空的概念との対応関係を明らかにし、正準テンソル模型の古典的および量子論的ダイナミクスを時空のダイナミクスとして記述することである。さらに、現実の時空と比較し、正準テンソル模型の検討も行う。
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| Outline of Annual Research Achievements |
正準テンソル模型には大雑把に分けて量子相と古典相があり，後者の相で古典時空が発現していることが数値計算により示されている．しかし本質的な理解のためには解析的な導出が必要である．この古典時空の発現はテンソルのランク分解という数学的手法と密接に関連しており，その知識を正準テンソル模型の理解に応用できる可能性があるものの，テンソルのランク分解はNP困難であり分かっていないことが多い．テンソルのランク分解の最も簡単な場合は，テンソルの固有値・固有ベクトルの問題と等価である．前年度の研究においてランダムテンソルの固有値分布を量子場の理論の分配関数の計算に帰着し，実ランダムテンソルの実固有値分布を具体的に計算することに成功した．この量子場の理論による方法は広い一般性があるだけでなく，長年培われてきた場の理論の計算手法を応用できるという点で優れている．
今年度の研究においては，この量子場の理論の方法を更に発展させることを行なった．まず第一に行なったのは，実ランダムテンソルの実固有値分布を厳密に計算することである．対応する場の量子論はボソンとフェルミオンが4点相互作用する0次元系でかなり複雑であるが，最終的に計算すべき量が実は完全微分の積分になることがわかり表面項の評価だけで計算ができてしまった．何か本質的な理由が背景にあるはずで，今後理解に努めたい．
次に，古典時空発現の問題により近い設定を研究するために，実ランダムテンソルに背景テンソルを導入し，かつ，固有方程式にノイズを入れた場合の固有ベクトル分布を計算した．導入した背景テンソルが一次元（Spiked tensor)であるため，まだ現実的な古典時空の発現とは隔たりが大きいが，正準テンソル模型の数値計算でも見られた1次相転移現象を確かに確認することができた．より現実的な古典時空の発現に対応する拡張を今後行いたい．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまでの研究での数値計算により古典時空の発現現象をいくつかの簡単な場合に具体的に見ることができたものの，それをより現実的な場合に一般化（1＋3次元かつ巨大な時空）して，その古典時空が一般相対論に従うものであることを示すには，この発現現象の解析的な理解が必要である．一方，それと密接に関連するテンソルのランク分解という数学の問題もNP困難であり有効な手法が確立されておらず，解析上の困難となっていた．前年度に開発した場の量子論をこの問題に応用する方法は広い一般性を持つ強力な方法であり，今後の道筋を拓くものである．また，正準テンソル模型の波動関数の運動量表示の古典近似は丁度テンソルの固有ベクトル問題と対応しており，この新しく開発した量子場の理論の方法を応用できる．この場の量子論による方法は設定を変えるだけで様々なランダムテンソルの様々なテンソルの統計量の計算に使えるという点で極めて応用範囲が広い．正準テンソル模型において現実的な古典時空の発現を解析的に示すにはいくつかの目標を順次解決していく必要があるが，この量子場の理論による方法の発見により，その道筋が具体的に見えていると楽観視している．
またコロナ禍が終了し，海外出張が自由にできるようになったことも好ましい状況である．テンソル模型やテンソルのランク分解は主に欧米に研究者がいるため，コロナ禍の間は研究者として孤立していた感があった．しかし前年度と今年度にかけて科研費を使って出張を行い海外の研究者と現地で交流する機会があり，極めて有効な情報交換ができ刺激となった．特にテンソルの固有値問題に場の量子論を応用するという発想は現地の研究者との会話がきっかけで思いついたものである．また幾人かの研究者とメールでの情報交換が続いており，今後も大いに刺激になると期待している．
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| Strategy for Future Research Activity |
ランダムテンソルの固有値分布やテンソルのランク分解にに対して場の量子論の方法を様々な場合に応用し発展させ，最終的には正準テンソル模型における現実的な古典時空の発現の解析に応用したい．
テンソルの固有値問題は行列の場合よりも種類が多い．テンソルが対称かそうでないか，テンソルが実か複素か，また，固有値が実か複素かなどで分かれる．今年度までは実対称テンソルの実固有値分布のみを考えたが，今後網羅的に様々な場合に計算を進めていく．特に，複素テンソルの固有値問題は量子情報理論における量子もつれの幾何学量と直接関係しており，応用上も重要である．
またこれまでは簡単のために平均分布を計算している．自由度が無限大の極限では平均分布と分布とが一致すると考えられているが，それが証明されているのは実テンソルの実固有値分布の場合だけである．分布の揺らぎが自由度無限大の極限でゼロになることを証明する必要があり，量子場の理論の方法を使ってまだ証明されていない場合に証明する．
ランダムテンソルの固有値分布関数の端点は様々な最適化問題における最適値と関係し，テンソル固有値の「符号付き」分布関数の端点と一致すると考えられている．この「符号付き」分布関数は4フェルミ理論と呼ばれる場の量子論により計算できるが，この理論は原理的に厳密に計算することができる．つまり，最適化問題の最適値は原理的に4フェルミ理論により厳密に計算できる．様々な場合に実行する．
量子場の理論の方法によりテンソルのランク分解の分布関数も計算が可能と考えられる．この計算は完全な未到の地と考えられ，量子場の理論の方法の優位性を示す絶好の場である．更に，その知見は正準テンソル模型における古典時空の発現の計算に応用できるはずであるので，それも調べたい．また，正準テンソル模型の波動関数の運動量表示に対して，テンソルの固有ベクトル方程式を応用する．
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