Study of algebraic solutions of the differential equations determined by isomonodromic deformations
| Project/Area Number |
19K14506
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
光明 新 神戸大学, 数理・データサイエンスセンター, 講師 (90760976)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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| Keywords | モノドロミー保存変形 / 不確定ガルニエ系 / 代数解 / シンプレクティック形式 / モジュライ / 可積分系 / モジュライ空間 / 接続 / 不確定接続 / パンルヴェ方程式 / シンプレクティック構造 / 不確定特異点 / ガルニエ系 / ハミルトニアン / パンルヴェVI型方程式 / 基本群の表現 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究では, パンルヴェVI型方程式やガルニエ系と呼ばれる微分方程式を扱う. これらの方程式は, 確定特異点をもつ射影直線上の2階線形常微分方程式のモノドロミー保存変形を記述する方程式である. これらの方程式のパラメータと初期値を特殊にとることにより, その初期値問題の解は代数的になることがある. これらの代数解は多くの数学的構造(例えば, フロベニウス多様体, 正多面体群, グロタンディークの子供の絵など)と関係し, 様々な方面から研究されてきた. 本研究の目的は, ガルニエ系の代数解を新たに見つけること, またそれぞれの代数解の背後にある幾何学的構造を調べることである.
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に引き続き、フレーム付き確定接続のモジュライ空間上のシンプレクティック形式と大域的代数関数についての研究をBiswas氏、稲場氏、齋藤氏との共同研究によって進めた。今年度もZoomによる研究打ち合わせを中心に共同研究を進めたが、11月と3月には共同研究者であるBiswas氏が日本で行われた研究集会へ出席するために来日し、これらの研究集会の合間に対面での打ち合わせを行うことができた。その甲斐もあり理論を大幅に洗練化することができ、また論理の流れが見やすいように原稿を整理することもできた。結果として論文は完成し、現在投稿中である。
前年度に引き続き、不確定放物接続のモジュライ空間と不確定放物束のモジュライ空間の研究をLoray氏、齋藤氏との共同研究によって進めた。論文自体は昨年度に一度完成しており投稿中であった。今年度は査読のプロセスを進め、論文の改訂を通してAdvances in Mathematicsにこの論文が掲載された。
DiarraとLorayの不確定ガルニエ系の代数解の分類の中には、不確定ガルニエ系の明示的な式が知られていないために、代数解を明示的に与えることができていない例が１つ存在した。これまでに射影直線上階数が2の場合の(一般)モノドロミー保存変形の明示式を与える研究を行なってきたが、この研究を応用し、この残っていた代数解を実際に求めることに成功した。さらにこの代数解に関するタウ関数を明示的に与えることもできた。この結果は論文にまとめられFunkcialaj Ekvaciojへの掲載が決定した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
この研究計画の当初の目標の一つであったDiarraとLorayの不確定ガルニエ系の代数解のリストの補完を実際に今年度、実行することができた。また時間がかかっていたBiswas氏、稲場氏、齋藤氏との共同研究の研究成果をまとめた論文を完成させ、投稿することができた。
Loray氏、齋藤氏の共同研究はひと段落がついたが、新にSzabo氏を加え接続のモジュライ空間のダルブー座標を与える共同研究を始めることができた。また、稲場氏とは射影直線上階数が2で極因子の次数が4の場合の接続のモジュライ空間のコンパクト化の共同研究を始めることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
接続のモジュライ空間のダルブー座標を与える研究をLoray氏、齋藤氏、Szabo氏との共同研究によって進める。接続の見かけの特異点に着目し、見かけの特異点が実際にダルブー座標を与えることを一般の曲線上で証明することができないか検討する。
射影直線上階数が2で極因子の次数が4の場合の接続のモジュライ空間のコンパクト化の研究を、稲場氏と共同研究によって進める。接続のモジュライ空間のコンパクト化のためには、接続の退化を含めてモジュライのオブジェクトの定式化を行う必要があるが、まずはこの定式化を行うことになる。
今年度の研究により新な不確定ガルニエ系の代数解を与えることができた。さらにこの代数解に関するタウ関数を明示的に与えることもできた。そこで今後はこの不確定ガルニエ系の対称性に着目し、この対称性によってタウ関数の変換が引き起こされるが、この変換を明示的に書き下すことを試みる。
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Report
(4 results)
Research Products
(23 results)
