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総実代数体上への志村谷山予想の一般化とアーベル曲面の保型性への応用

Research Project

Project/Area Number 19K14514
Research Category

Grant-in-Aid for Early-Career Scientists

Allocation TypeMulti-year Fund
Review Section Basic Section 11010:Algebra-related
Research InstitutionGakushuin University

Principal Investigator

吉川 祥  学習院大学, 理学部, 研究員 (10803736)

Project Period (FY) 2019-04-01 – 2024-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2019: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Keywords楕円曲線 / モジュラー曲線 / モジュラー形式 / 岩澤理論 / ヒルベルトモジュラー形式 / ガロア表現 / 有理点 / 保型表現 / ガロワ表現 / Galois表現 / Langlands対応
Outline of Research at the Start

およそ25年前、WilesはR=Tという新しい手法を創始し、楕円曲線という幾何的対象と保型形式という解析的対象とを結びつける「志村谷山予想」(の大部分)を証明した。その帰結としてフェルマーの最終定理が証明された。もともとの志村谷山予想は係数が「有理数の」楕円曲線や保型形式の間の対応だったが、楕円曲線や保型形式をより一般の係数で考えるとどうだろうか。この場合にも対応が期待されるが、Wilesの手法が(ただちには)適用できない場合が多く現れる。そのような困難な場合にも対応を証明することが本研究の主目的である。

Outline of Annual Research Achievements

2022年度も引き続き楕円曲線の保型性(すなわち、楕円曲線のL関数が、あるクラスのモジュラー形式や保型表現に付随するL関数と一致するという性質)に関する研究を行った。特に、Fを実二次体Kの円分Z_p拡大の部分体とした場合に、F上の楕円曲線が保型性を持つかどうかを考察した。より具体的には、Kとpに関して明示的な条件を与え、その条件が満たされるならば、上記のような任意のFに対してF上のすべての楕円曲線が保型的であることを導いた。
このようなFは有理数体の総実アーベル拡大である。有理数体の総実アーベル拡大上の楕円曲線の保型性は私自身が以前研究していたが、今回の結果により、以前の成果では取り扱えなかった一部のFについてもF上の楕円曲線の保型性を導くことが出来た。
Fが有理数体の円分Z_p拡大に含まれる場合、F上の楕円曲線の保型性はJack Thorne氏によって既に証明されていた。このThorne氏の結果を踏まえ、Xinyao Zhang氏(東京大学)はFが実二次体の円分Z_p拡大の場合を考察し、部分的な結果を得ている。上記の私の実績は、Zhang氏の結果を踏まえて得られたもので、氏の結果を拡張するものである。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

ひとつのまとまった結果が得られたため。

Strategy for Future Research Activity

実二次体の場合を越えて、巡回三次拡大の場合も研究していく。また、楕円曲線の保型性を離れ、保型形式のp進族(eigenvarieties)やp進表現のモジュライ(Emerton-Gee stacks)の研究にも参入していきたい。

Report

(4 results)
  • 2022 Research-status Report
  • 2021 Research-status Report
  • 2020 Research-status Report
  • 2019 Research-status Report
  • Research Products

    (12 results)

All 2023 2022 2021 2020 2019

All Journal Article (2 results) (of which Peer Reviewed: 1 results) Presentation (10 results) (of which Int'l Joint Research: 3 results,  Invited: 9 results)

  • [Journal Article] The modularity of elliptic curves over all but finitely many totally real fields of degree 52022

    • Author(s)
      Yasuhiro Ishitsuka, Tetsushi Ito, Sho Yoshikawa
    • Journal Title

      Res. number theory

      Volume: 8 Issue: 4 Pages: 82-82

    • DOI

      10.1007/s40993-022-00383-0

    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Reducible mod 105 representations and modularity of elliptic curves2021

    • Author(s)
      Yoshikawa Sho
    • Journal Title

      Journal of Number Theory

      Volume: 228 Pages: 208-218

    • DOI

      10.1016/j.jnt.2021.04.008

    • Related Report
      2021 Research-status Report
  • [Presentation] Modularity of elliptic curves over totally real quintic fields2023

    • Author(s)
      吉川祥
    • Organizer
      The 10th East Asian Number Theory Conference
    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 実二次体の円分 Z_p 拡大上の楕円曲線の保型性について2022

    • Author(s)
      吉川祥
    • Organizer
      数論合同セミナー
    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] 実二次体の円分Z_p拡大上の楕円曲線の保型性について2022

    • Author(s)
      吉川祥
    • Organizer
      北大数論セミナー
    • Related Report
      2022 Research-status Report
  • [Presentation] 肥田とWilesによるGalois表現の構成2022

    • Author(s)
      吉川 祥
    • Organizer
      Dasgupta Kakdeの最近の仕事とその周辺Workshop
    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] 総実五次体上の楕円曲線の保型性について2021

    • Author(s)
      吉川 祥
    • Organizer
      金沢整数論オータムワークショップ2021
    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] 総実5次体上の楕円曲線の保型性について2021

    • Author(s)
      吉川 祥
    • Organizer
      北大整数論セミナー
    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] 総実代数体上定義された楕円曲線の保型性に関する最近の進展2020

    • Author(s)
      吉川 祥
    • Organizer
      九州代数的整数論2020夏 on Zoom(KANT2020)
    • Related Report
      2020 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Galois表現の保型性についての最近の進展2019

    • Author(s)
      吉川 祥
    • Organizer
      東京理科大学理工学部数学教室 整数論講演会
    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] modularity of elliptic curves over certain totally real fields2019

    • Author(s)
      Sho Yoshikawa
    • Organizer
      Workshop on Shimura varieties, representation theory and related topics,2019
    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Modularity of elliptic curves over certain totally real fields2019

    • Author(s)
      Sho Yoshikawa
    • Organizer
      Arithmetic Geometry and Representation Theory
    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited

URL: 

Published: 2019-04-18   Modified: 2023-12-25  

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