平均曲率零曲面の諸理論の統合と計量の符号数に応じた幾何学的性質の探求
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19K14527
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Nihon University (2020-2022)
Nagoya University (2019) |
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Principal Investigator |
赤嶺 新太郎 日本大学, 生物資源科学部, 講師 (50825148)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
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| Keywords | 光的超曲面 / 極小曲面 / 極大曲面 / イソトロピック空間 / 鏡像の原理 / 特異点 / 光的波面 / L-完備性 / isotropic空間 / Krust型定理 / 光的境界値問題 / 光的完備性 / Calabi-Bernstein型定理 / ローレンツ幾何 / 光的点 / Bernstein型定理 / ミンコフスキー空間 / 時間的極小曲面 / 非等方的エネルギー |
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| Outline of Research at the Start |
本研究では，一般の符号数を持った擬ユークリッド空間内で平均曲率が恒等的に零となる曲面である平均曲率零曲面に対してこれまで個別に研究されてきた各種の理論，特にユークリッド空間内の極小曲面論，ミンコフスキー空間内の極大曲面論，時間的極小曲面論，光的曲面論の各理論に対して次の研究を行う．
(1) 曲面の計量の符号数（正定値計量か，不定値計量かといった性質）によらずに現れる性質・理論を非等方的エネルギーに対する臨界点に関する幾何学などの新しい観点から統合する．
(2) 一方で，曲面上に現れる特異点の分類や各種曲率の挙動などの曲面の計量の符号数によって全く異なった様相を呈する幾何学的性質を探求する．
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| Outline of Annual Research Achievements |
平均曲率零曲面の諸理論の統合と計量の符号数に応じた幾何学的性質の探求の研究の一環として，本年度は主に平坦な空間内の空間的平均曲率零曲面や光的超曲面に関する研究を行った．
前年度に引き続き，本田淳史氏（横浜国立大学），梅原雅顕氏（東京工業大学），山田光太郎氏（東京工業大学）とミンコフスキー時空内の光的超曲面およびその特異点つきの対象である光的波面の研究を行い，その構造を明らかにした研究結果を取りまとめ，論文として投稿した．
また，藤野弘基氏（名古屋大学）と共同で取り組んでいた極小曲面の無限境界値問題と極大曲面の光的境界値問題の間にある双対対応に関する研究については，論文「Duality of boundary value problems for minimal and maximal surfaces」の学術誌への掲載が受理された．さらに，前年度までの研究成果を踏まえ，isotropic空間内の平均曲率零曲面に対する鏡像の原理を解明し，結果を取りまとめて論文として出版した．具体的には，isotropic空間においてはisotropic lineと呼ばれる，その上で計量が退化する特異な線分があり，その線分に関する曲面の鏡像の原理を新たに解明した．応用としてisotropic空間内でSchwarz D型の周期曲面などの具体例を構成した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度も前年度に引き続き，新型コロナウイルスの流行により，予定していた出張が中止またはオンラインになるなどの進捗上の影響が一部あったが，研究自体は大きな問題なく進展させることができ，得られた成果を論文として投稿または出版することができた．とくに，平均曲率零曲面の諸理論の統合を目的とした本研究において，調和関数論の最新の進展などを用いることで，複数の幾何学的対象に共通した性質を見出す方法が明らかになりつつあり，研究は概ね順調に進展しているといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
当初は本年度が予定していた最終年度であり，多くの研究課題に対して結果を取りまとめて論文として出版することができたものの，新型コロナウィルスの影響などの理由により，一部の研究課題については進展の余地がある状況となった．今後は，これまでの研究を進めていく上で生じた発展的な課題などについても取り纏めつつ，新たな研究の方向性や更なる発展を模索し，研究を推進する．
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Report
(4 results)
Research Products
(34 results)
