Calculations of representation categories of quantum groups by linear skein theory and its applications to quantum topology
| Project/Area Number |
19K14528
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
湯淺 亘 京都大学, 数理解析研究所, 研究員 (80824961)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
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| Keywords | スケイン代数 / クラスター代数 / 色付きジョーンズ多項式 / 量子不変量 / 量子トポロジー / 圏化 / 低次元トポロジー / 結び目 |
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| Outline of Research at the Start |
結び目や 3 次元多様体の量子不変量は, 例えば単純リー代数の量子群の有限次元既約表現を用いることで統一的に構成できるがその計算は非常に難しい.
本研究では, リー代数 sl(N+1) から構成される量子不変量の計算を行う. その計算には, 量子群の表現を図式の線形和とスケイン関係式を用いて組み合わせ的に計算する線形スケイン理論を用いる. そして, これらの計算公式を量子不変量の計算, 写像類群の量子表現の計算, 量子モジュラー形式の恒等式の導出, トポロジカル量子計算などへ応用する. これらの応用は全て図式計算による量子群の表現に関する公式の導出が重要な鍵を握っている.
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に引き続き、点付き境界を持つ曲面のスケイン代数と量子クラスター代数について研究を進めた。sp_4に付随するスケイン代数の量子クラスター代数への埋め込みや、ローラン正値性に関する共著論文を執筆、投稿した。ここでは（量子）整形式というsp_4に付随するスケイン代数の部分代数を定義するなど、これまでA_n型では見られなかった面白い対象も現れている。さらに、A_n型、B_n型に付随する対応についても研究を進めている。
この他に、ラミネーションに付随する係数を持つクラスター代数に対応する壁付き曲面のスケイン代数を定義した。さらに、壁の様々な一般化を与え、それに対応するスケイン代数を定義した。この研究ではスケイン代数の視点から係数付きクラスター代数の幾何的なモデルや、それらの一般化を与える手掛かりを与えていると考えられる。
また、ステイト付きスケイン代数と上記のスケイン代数との対応を与えるステイト-クラスプ対応についてはsl_3、sp_4以外にsl_nでも一部の対応を確認した。
結び目の色付きジョーンズ多項式の係数の安定性について、(2,2m)-トーラス結び目に関してsl_3やsp_4の色付きジョーンズ多項式で高次の安定性を実験的に発見した。これはGaroufalidis-Leで提唱されている高次の安定性とは少し異なっており、興味深いものである。
また、sl_2の色付きジョーンズ多項式のtailの計算においては、ある交代的なモンテシノス絡み目のクラスについて具体的な公式を与えた。これはこれまで得られている具体的なtailの計算結果の多くを復元することができ、3-bridgeなどこれまで計算されていないより広いクラスの結び目についての公式を与えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
スケイン代数と量子クラスター代数の関係については、sl_3の場合に査読付き論文に採択され、sp_4の場合に論文を執筆、投稿した。また、係数付きクラスター代数と壁付き曲面のスケイン代数に関する論文も概ね執筆が完了している。この他にも、様々な研究が並行して進展しており、それぞれの研究が相互に関係しあっており、研究課題の進捗は順調である。
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| Strategy for Future Research Activity |
壁付き曲面のスケイン代数と係数付きクラスター代数に関する共著論文を投稿する。さらに、ここで考えた一般化された壁に対応するスケイン代数と関連するクラスター代数的対象を考える。また、この壁付きスケイン代数に対応する幾何的対象であるモジュライ空間の定義を与える。
ステイト-クラスプ対応については論文の執筆を完了させ、投稿する。そして、Le-YuのSL_n量子トレースとの関係も探りながら、高階のステイト-クラスプ対応を与える。
色付きジョーンズ多項式の安定性については、実験的に発見した新たな高次の安定性を定式化し、Garoufalidis-Leの高次の安定性との関係を探る。そして、高次の安定性から現れる級数の幾何的な意味を探る。また交代的モンテシノス絡み目におけるtailの公式からどのような量子モジュラー形式が得られているか、数論の研究者と交流しながら研究を進める。
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Report
(4 results)
Research Products
(28 results)
