超平面を用いたPAC学習理論へのモデル論的アプローチ
Project/Area Number |
19K20209
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Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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Allocation Type | Multi-year Fund |
Review Section |
Basic Section 60010:Theory of informatics-related
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Research Institution | University of Tsukuba |
Principal Investigator |
竹内 耕太 筑波大学, 数理物質系, 助教 (50722485)
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Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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Budget Amount *help |
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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Keywords | continuous logic / structural Ramsey theory / Indivisible / Metric structure / metric structures / Ramsey property / independent property / random graph / PAC学習 / VC密度 / VC次元 / 超平面 / モデル理論 / NIP |
Outline of Research at the Start |
本研究は、PAC学習と呼ばれる機械学習に関する新しい理論的拡張(PACn学習)の数学的基礎を与えることを目的とする。従来のPAC学習では有限個の点サンプルから全体の情報を推測することを行っていたが、本研究では推測対象が高次元空間の部分集合であるとき、その超断面から全体の情報を推測する。この方法で従来より多くの対象が学習可能になるが、そのことを組み合わせ論のVCn次元と呼ばれる概念を用いて数学的に解析する。VCn次元とPACn学習の対応関係はn=1の場合には示されているので、その対応関係を一般のn次元空間においても示すことが目標である。
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Outline of Annual Research Achievements |
2022年度は前年度に引き続き連続論理とラムゼイ理論のつながりを深く研究するために、ウリゾーン普遍距離空間を題材にindivisibilityとよばれる性質について調べた。indivisibleとは、頂点集合を有限個のグループに分割したときに必ずあるグループに自分自身と同型な構造を埋め込めることを言う。これは無限ラムゼイ理論の一番簡単なバージョンと考えることができる。ウリゾーン普遍距離空間はこの性質を持つが、それ以外にも古典的に知られているラムゼイクラスに対応する無限構造もこの性質を持つことが多い。そこで、indivisibleであることの十分条件として様々な例を包含するような応用のしやすい命題を整理し、具体的な例のindivisibilityが同じ方法で統一的に証明できることを示した。これらの結果はRIMS model theory workshopやModel theory spring workshop, Tokyo Model Theory Seminarなどの国内のモデル理論研究集会で口頭発表し、講究録にまとめた。しかし、この方法はまだウリゾーン普遍空間に適用することができる形ではないため、距離空間でも通用する形に拡張することが必要である。ウリゾーン普遍空間におけるindivisibilityはSauerらがすでに証明しているものの、その証明は離散的な構造への還元を基本的なアイデアとするものであり、距離空間を直接的に扱う手法としては面白くない。これを連続論理のアイデアを用いてアプローチできないかを考えたい。
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
コロナ禍での制限により研究が遅れていたが、対面での活動が可能になってきたことにより遅れを取り戻しつつある。
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Strategy for Future Research Activity |
引き続き連続論理(距離構造)のラムゼイ理論を構築していく。とくにウリゾーン普遍空間におけるindivisibilityはSauerらがすでに証明しているものの、その証明は離散的な構造への還元を基本的なアイデアとするものであり、距離空間を直接的に扱う手法としては面白くない。これを連続論理のアイデアを用いてアプローチできないかを考えたい。 また連続論理のモデル理論を学習理論に適用する道具となる、NIPな構造における組み合わせ論的な性質を明らかにしていく。
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Report
(4 results)
Research Products
(15 results)