| Project/Area Number |
19K23407
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
0201:Algebra, geometry, analysis, applied mathematics,and related fields
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
榎園 誠 東京理科大学, 理工学部数学科, 助教 (30843461)
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| Project Period (FY) |
2019-08-30 – 2021-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2019)
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| Budget Amount *help |
¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
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| Keywords | ファイバー多様体 / 特異点 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究の目的は、孤立完全交叉特異点に対し、そのミルナー数、幾何種数、埋込次元や標準サイクルの自己交点数などの不変量の間の不等式や関係式を導出することである。本研究では、このような特異点の問題に対し、ファイバー多様体の不変量の地誌学的研究の観点からアプローチする。
まず一般ファイバーが射影空間の中で完全交叉であるようなファイバー多様体に対し、そのスロープの下限を、一般ファイバーの定義多項式の個数や次数、全空間の次元を用いて求め、特異点とその解消空間をファイバー多様体にコンパクト化し、特異点とファイバー多様体を関連させ、特異点の不変量の関係式を導く。
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度は、完全交叉特異点のDurfee型不等式への最初の段階として、ファイバー多様体のスロープ不等式の研究を行った。特に、主に3次元ファイバー多様体で一般ファイバーが標準体積1、幾何種数2の一般型曲面（以下(1,2)曲面と呼ぶ）であるようなものに対して焦点を絞り考察した。このファイバー多様体は、スロープ不等式に関するBarja-Stoppino予想の反例となる多様体であり、また、相対標準写像などから自然に定まる2重被覆の構造を通して、3次元超曲面2重点のDurfee型不等式とも関連があり、興味深い対象である。
具体的には、まず(1,2)曲面を一般ファイバーに持つ3次元ファイバー多様体に対して、その相対標準写像は基点解消を取ると種数2の曲線束となり、さらにその相対標準写像を考えStein分解を取ると、2次Hirzebruch曲面束上の2重被覆となることを確認した。また逆に、2次Hirzebruch曲面束上の超曲面で一般ファイバーが(6,10)型の曲線となるものを取り、それを分岐因子とする2重被覆を取り特異点解消を取ると、(1,2)曲面のファイバー多様体を得ることを確認した。分岐因子の特異点の数値的不変量が、(1,2)曲面のファイバー多様体の不変量やスロープを決定していると考えられる。堀川氏の標準解消を用いて分岐因子と対応する2重被覆の同時特異点解消を取ることにより、分岐因子の特異点とファイバー多様体の不変量の関係を考察し、いくつかの部分結果を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
完全交叉特異点のDurfee型不等式は、3次元以上ではほとんど何も知られていない。当該年度は、一番単純な場合である3次元超曲面2重点の場合で、まだ完全とは言えないが、いくつかの部分結果を得た。そのため、本研究はおおむね順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究の今後の研究方策としては、まず(1,2)曲面を一般ファイバーに持つ3次元ファイバー多様体のスロープ不等式に関する研究をさらに進め、3次元超曲面2重点のDurfee型不等式の導出を目指す。そのためには、2重被覆の標準解消のプロセスをさらに解析する必要がある。その後、3次元超曲面特異点のDurfee型不等式を考察するため、超曲面を一般ファイバーに持つ3次元ファイバー多様体の研究に移行する。その後、さらに一般次元の場合や、完全交叉の場合に一般化することを目指す。
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Report
(1 results)
Research Products
(11 results)
