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再生核ヒルベルト空間による逆問題数値解析手法の開発

Research Project

Project/Area Number 20654011
Research Category

Grant-in-Aid for Challenging Exploratory Research

Allocation TypeSingle-year Grants
Research Field General mathematics (including Probability theory/Statistical mathematics)
Research InstitutionThe University of Tokyo

Principal Investigator

山本 昌宏  東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (50182647)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 代田 健二  愛知教育大学, 情報科学部, 准教授 (90302322)
斉藤 宣一 (斎藤 宣一)  東京大学, 大学院・数理科学研究科, 准教授 (00334706)
Project Period (FY) 2008 – 2010
Project Status Completed (Fiscal Year 2010)
Budget Amount *help
¥3,300,000 (Direct Cost: ¥3,300,000)
Fiscal Year 2010: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
Fiscal Year 2009: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000)
Fiscal Year 2008: ¥1,200,000 (Direct Cost: ¥1,200,000)
Keywords逆問題 / 正則化 / 再生核 / 変分法 / 応用数学 / 離散化 / 再生核ヒルベルト空間 / 数値解法 / 多重スケール核
Research Abstract

逆問題に対して、再生核ヒルベルト空間ならびに多重スケール核に基づいて、多次元の任意形状をもつ領域における数値解析手法の研究と開発を目指したが、この方法は正則化手法と密接に結び付いており、また離散化のためには有限要素法などを駆使しなくてはいけないことが、より鮮明になり、その方面の研究を進めた。実績は以下のとおりである。
(1)相転移問題や熱伝動現象で初期値を決定する逆問題などの応用逆問題で上記の着想に基づいた数値解析手法を開発し、成果として公表した。
(2)再生核ヒルベルト空間の手法をチホノフの正則化に適用した場合の近似解の安定性・収束の理論や正則化パラメータの最適な選択原理の講究を実施し、成果を出版した。
逆問題個有の不安定性があり、データの微小変動に対して逆問題の解の偏差が極めて大きくなる可能性があるが、そのために正則化の数値計算のためには必要な離散化には特別の注意が必要である。すなわち、逆問題の数値解の精度をあげるために離散化を細かくしていくと、逆問題自体の不安定性からしばしば精度が悪くなる。そこで、逆問題の数値解法においては、要求されている解の精度の範囲において離散化の精度を適宜コントロールすることが必要不可欠である。これへの1つの解答を与えた。
該当年度においては正則化法に有限要素法を用いて安定な数値解法を提案し、論文を完成させ公表した。
(3)また、継続中の課題としては、再生核ヒルベルト空間の1つの数値手法である多重スケール核の方法の逆問題への応用についての研究があるが、これまで得た成果を本萌芽研究での知見を活用して将来的に大きく発展させる素地ができたと判断している。

Report

(3 results)
  • 2010 Annual Research Report
  • 2009 Annual Research Report
  • 2008 Annual Research Report
  • Research Products

    (12 results)

All 2010 2009 2008

All Journal Article (9 results) (of which Peer Reviewed: 9 results) Presentation (3 results)

  • [Journal Article] On the interplay of source conditions and variational inequalities for nonlinear ill-Posed problems2010

    • Author(s)
      HOFMANN, B., YAMAMOTO, M.
    • Journal Title

      Appl.Anal.

      Volume: 89 Pages: 1705-1727

    • Related Report
      2010 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] H.Brunner, L.Ling and M.Yamamoto : ¥1q¥1q Numerical simulations of 2D fractional subdiffusion problems2010

    • Author(s)
      BRUNNER, H., LING, L., YAMAMOTO, M.
    • Journal Title

      J.Comput.Physics

      Volume: 229 Pages: 6613-6622

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      2010 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] A backNard problem for the time-fractional diffusion equation2010

    • Author(s)
      LIU, J.J., YAMAMOTO, Masahiro
    • Journal Title

      Applicable Analysis

      Volume: 89 Pages: 1769-1788

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    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] New reflection principles for Maxwell's equations and their applications2009

    • Author(s)
      LIU, H., YAMAMOTO, M., ZOU, J.
    • Journal Title

      Numer.Math. Theory Methods Appl. 2

      Pages: 1-17

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    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Conditional stability and numerical reconstruction of initial temperatures2009

    • Author(s)
      LI, J., YAMAMOTO, M., ZOU, J.
    • Journal Title

      Commun.Pure Appl.Anal. 8

      Pages: 361-382

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    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] On the evaluation of dilatometer experiments2009

    • Author(s)
      HOEMBERG, Dietmar, TOGOBYTSKA, Natalie, YAMAMOTO, Masahiro
    • Journal Title

      Applicable Analysis 88

      Pages: 669-681

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  • [Journal Article] Conditional stability and numerical reconstruction of initial temperature.2009

    • Author(s)
      J. Li, M. Yamamoto, J. Zou
    • Journal Title

      Commun. Pure Appl. Anal. 8

      Pages: 361-382

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  • [Journal Article] Tikhonov regularization by a reproducing Kernel Hilbert space for the Cauchy problem for an elliptic2008

    • Author(s)
      T. Takeuchi, M. Yamamoto
    • Journal Title

      SIAM J. Sci. Comput. 31

      Pages: 112-142

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  • [Journal Article] Heat・ transfer in composite materials with Stefan-Boltzmann interface conditions.2008

    • Author(s)
      G. Yang, J. Cheng, M> Yamamoto
    • Journal Title

      Math. Methods Appl. Sci 31(T)

      Pages: 1297-1314

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  • [Presentation] Carleman estimate with second large Parameter for second order hyperbolic operators in a Riemannian manifold and applications in thermoelasticity cases2010

    • Author(s)
      YAMAMOTO, Masahiro
    • Organizer
      Trimester Inverse Problems
    • Place of Presentation
      Institut Henri Poincar'e, Paris
    • Year and Date
      2010-11-10
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      2010 Annual Research Report
  • [Presentation] Inverse problems for diffusion equations of fractional orders2009

    • Author(s)
      YAMAMOTO, Masahiro
    • Organizer
      Chemnitz-RICAM Symposium on Inverse Problems
    • Place of Presentation
      Austrian Academy of Sciences,オーストリア
    • Year and Date
      2009-07-15
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  • [Presentation] On thermal non-destructive testing: reconstruction of coefficients in the Stefan-Boltzmann boundary condition for the heat equation2008

    • Author(s)
      M. Yamamoto
    • Organizer
      The Third International Congerence on Scientific Computing and Partial Differential Equations
    • Place of Presentation
      Hong Kong Baptist University
    • Year and Date
      2008-12-10
    • Related Report
      2008 Annual Research Report

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Published: 2008-04-01   Modified: 2016-04-21  

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