結晶成長形と偏微分方程式の漸近解析

• Project/Area Number: 20654017
• Research Category: Grant-in-Aid for Challenging Exploratory Research
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Global analysis
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 儀我 美一 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (70144110)
• Project Period (FY): 2008 – 2010
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2010)
• Budget Amount: ¥3,200,000 (Direct Cost: ¥3,200,000); Fiscal Year 2010: ¥1,900,000 (Direct Cost: ¥1,900,000); Fiscal Year 2009: ¥600,000 (Direct Cost: ¥600,000); Fiscal Year 2008: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000)
• Keywords: ファセット / ハミルトン・ヤコビ方程式 / 時間無限大 / ミクロの時間 / 結晶成長学

Research Abstract

結晶成長現象を記述する方程式で最も簡単なものは、結晶成長の法速度Vが結晶方位(法ベクトル)nにのみよる関数M(n)>0に比例する場合である。M(n)が定数の場合はいわゆるホイヘンスの原理で結晶が成長する。一方、結晶成長形にはしばしばファセットと呼ばれる平らな面が現れる。これはMがnによるような異方性を持つ場合、V=M(n)c(c>0定数)に直線部分(平面部分)を持つ自己相似解を持つ場合である。結晶成長学では、cが定数ではなくても、それが定数に近ければファセット面は維持されると考えられているが、数学の枠組みではファセットが崩れず成長するためには、明らかにcは空間方向について定数である必要がある。
本年度は、このファセット形式のメカニズムを説明する可能性のある数学解析の理論を2種類確立した。一つはファセットを非強圧的ハミルトン・ヤコビ方程式の解の漸近形のうち、等速で動く部分と理解する方式である。この枠組では曲率の効果を無視している。これについては非強圧的ハミルトン・ヤコビ方程式の高次元での時間無限大での挙動を記述する数学理論を構築することに成功した。粘性解理論の新たな発展に寄与した。
もう一つは特異な曲率流方程式によるとらえ方である。こちらは問題の定式化自体がなかなか難しいが、粘性解の理論および自由境界価問題の手法を拡張することにより、いくつかの具体的なファセット分裂を起こす解を構成することに成功した。また、比較原理が十分一般的な設定で成立することも示した。

Research Products

• [Journal Article] On a decay rate of quenching profile at space infinity for axisymmetric mean curvature flow (2011)
  • Author(s): Y.Giga, Y.Seki, N.Umeda
  • Journal Title: Discrete Contin.Dyn.Syst. Volume: 29 Pages: 1463-1470
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Nonlocal spatially inhomogeneous Hamilton-Jacobi equation with unusual free boundary (2010)
  • Author(s): Y.Giga, P.Gorka, P.Rybka
  • Journal Title: Discrete Contin.Dyn.Syst. Volume: 26 Pages: 493-519
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Very singular diffusion equations-second and fourth order problems (2010)
  • Author(s): M.-H.Giga, Y.Giga
  • Journal Title: Japanese J.Ind.Appl.Math. Volume: 27 Pages: 323-345
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] A comparison principle for Hamilton-Jacobi equations with discontinuous Hamiltonian (2010)
  • Author(s): Y.Giga, P.Gorka, P.Rybka
  • Journal Title: Proc.American Mathematical Society Volume: 139 Pages: 1777-1785
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Interface dynamics-Effect of curvature (Kaimen Dynamics-Kyokuritsu no Kouka) (2010)
  • Author(s): Y.Giga
  • Journal Title: Handbaok in Applied Analysis Pages: 375-418
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Nonlocal spatially inhomogeneous Hamilton-Jacobi equation with unusual free boundary (2010)
  • Author(s): Y.Giga, P.Gorka, P.Rybka
  • Journal Title: Discrete Contin.Dyn.Syst. 26 Pages: 493-519
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Facet bending driven by the planar crystalline curvature with a generic nonuniform forcing term (2009)
  • Author(s): Y.Giga, P.Rybka
  • Journal Title: J.Differential Equations 246 Pages: 2264-2303
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Facet bending in the driven curvature flow in the plane (2008)
  • Author(s): Y. Giga and P. Rybka
  • Journal Title: J. Geometric Analysis 18 Pages: 109-147
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] A microscopic time scale approximation to the behavior of the local shape on the faceted surface under a nonuniformity in supersaturation (2008)
  • Author(s): E. Yokoyama, Y. Giga and P. Rybka
  • Journal Title: Physica D 237 Pages: 2845-2855
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Faceted crystal grown from solution - a Stefan type problem with a singular interfacial energy (2008)
  • Author(s): Y. Giga and P. Rybka
  • Journal Title: Gakuto International Series, Mathematical Sciences and Applications, Gakkotosho, Tokyo 28 Pages: 31-41
  • Peer Reviewed
• [Presentation] A comparison principle for singular diffusion equations with spatially in homogeneous driving force (2011)
  • Author(s): Y.Giga
  • Organizer: Free Boundary Problems and Random Effects
  • Place of Presentation: TU Dortmund, Germany
  • Year and Date: 2011-03-28
• [Presentation] ハミルトン・ヤコビ方程式と結晶成長 (2011)
  • Author(s): 儀我美一
  • Organizer: 非線形現象の数値計算と解析2011
  • Place of Presentation: 北海道大学大学院理学研究院
  • Year and Date: 2011-03-14
• [Presentation] ハミルトン・ヤコビ方程式と結晶成長 (2010)
  • Author(s): 儀我美一
  • Organizer: 東京大学「談話会」
  • Place of Presentation: 東京大学数理科学研究科
  • Year and Date: 2010-12-10
• [Presentation] Scale-invariant extinction time estimates for some singular diffusion equations (2010)
  • Author(s): Y.Giga
  • Organizer: 4th Euro-Japanese Workshop on Blow-up
  • Place of Presentation: Lorentz Center, Leiden University, the Netherlands
  • Year and Date: 2010-09-06
• [Presentation] Scale-invariant extinction time estimates for some singular diffusion equation (2010)
  • Author(s): Y.Giga
  • Organizer: Tutorial Lectures and International Workshop, Singular Diffusion and Evolving Interfaces
  • Place of Presentation: 北海道大学大学院理学研究院
  • Year and Date: 2010-08-06
• [Presentation] A few problems for Hamilton-Jacobi equations arising from step motions of crystal growth (2010)
  • Author(s): Y.Giga
  • Organizer: Viscosity Methods and Nonlinear PDE
  • Place of Presentation: 北海道大学大学院理学研究院
  • Year and Date: 2010-07-23
• [Presentation] 結晶界面の成長と偏微分方程式 (2010)
  • Author(s): 儀我美一, 大塚岳
  • Organizer: 東大数理GCOEセミナー「社会に拡がる数学について」第1回
  • Place of Presentation: 東京大学大学院数理科学研究科
  • Year and Date: 2010-02-18
• [Presentation] Motion by nonlocal curvature and Hamilton-Jacobi equations with unusual free boundary (2009)
  • Author(s): 儀我美一
  • Organizer: 微分方程式の粘性解とその周辺
  • Place of Presentation: 京都大学数理解析研究所(RIMS),京都
  • Year and Date: 2009-06-26
• [Presentation] Singular diffusion equations with nonuniform dribing force (2009)
  • Author(s): Y. Giga
  • Organizer: Workshop on Viscosity Solutions and Related Problems
  • Place of Presentation: 埼玉大学東京サテライト
  • Year and Date: 2009-01-29
• [Presentation] ファセット安定性問題の数学解析 (2008)
  • Author(s): 儀我美一
  • Organizer: 第10回界面ダイナミクスと数値シュミレーション
  • Place of Presentation: 神戸インスティチュート
  • Year and Date: 2008-11-28
• [Presentation] ファセット安定性問題の数学解析 (2008)
  • Author(s): 儀我美一
  • Organizer: 結晶成長学会国内会議
  • Place of Presentation: 仙台
  • Year and Date: 2008-11-05
• [Presentation] On billiards for game interpretation of the Neumann problem for curvature flows (2008)
  • Author(s): Y. Giga
  • Organizer: Special Analysis Seminar
  • Place of Presentation: Courant Institute New York University
  • Year and Date: 2008-05-16
• [Presentation] Surface Evolution Equations - A level set approach (2008)
  • Author(s): Y. Giga
  • Organizer: PDE in Geometry University of Cologne
  • Place of Presentation: University of Cologne
• [Book] Nonlinear Partial Differential Equations -- Asymptotic Behavior of Solutions and Self-Similar Solutions (2010)
  • Author(s): Mi-Ho Giga, Y.Giga, J.Saal
  • Total Pages: 350
  • Publisher: Birkhauser