空間収束を用いた集中・消散現象の幾何学的研究

• Project/Area Number: 20J00147
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 国内
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 数川 大輔 大阪大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)
• Project Period (FY): 2020-04-24 – 2023-03-31
• Project Status: Declined (Fiscal Year 2022)
• Budget Amount: ¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000); Fiscal Year 2022: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000); Fiscal Year 2021: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000); Fiscal Year 2020: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
• Keywords: 測度距離空間 / 集中位相 / 測度の集中現象 / ピラミッド / 無限次元空間 / ボックス位相 / リプシッツ順序 / 消散現象 / 距離変換 / 対数ソボレフ不等式

Outline of Research at the Start

本研究では，リーマン多様体や測度距離空間といった空間の列が与えられた時に，その空間列の収束性や各空間の上に定義される不変量の連続性について研究する．特に，測度距離空間の収束概念として，測度の集中現象を基にした測度距離空間の集中と呼ばれる収束に興味があり，測度距離空間の上の不変量としてはリッチ曲率の下限やラプラシアンのスペクトルなどに興味がある．また集中現象の逆現象として，測度が散り散りに別れてしまう消散現象という現象の存在が知られている．本研究ではGromov双曲空間という枠組みで消散現象がいつ起こるのかという問いに対する体系的な理論を構築する．

Outline of Annual Research Achievements

測度距離空間およびその拡張概念であるピラミッドに関して，以下の3つの研究を行った．
1つ目の研究では，東北大学の横田氏と共同で，昨年度に引き続き，測度距離空間族における位相的有界性と順序的有界性の同値性について調査を行った．この同値性に関する昨年度中に得られた結果がある意味で局所的にも成り立つだろうと予想し，その証明を目標として更なる研究を行った．元の結果を局所的にするという発想は斬新で，実際に証明ができれば本研究が従来とはまた異なる意義を持つことになる．証明はほとんどできており，論文を準備中である．
2つ目の研究では，東北大学の塩谷氏・中島氏と共同で，測度距離空間全体の上に定まるボックス位相・集中位相およびピラミッド全体の上に定まる弱位相について，これら3つの空間の位相的性質を調査した．従来，位相的性質はコンパクト性，可分性，(適切な距離関数の)完備性の有無が知られていたが，本研究では局所コンパクト性，σコンパクト性，Baire性，(大域)可縮性，局所連結性などの有無を明らかにすることに成功した．現在，その他の性質も調査中である．
3つ目の研究では，福岡大学の三石氏・江崎氏と共同で，2つのピラミッドがいつ異なると言えるかという問題に対して不変量を用いたアプローチを行った．実際に我々はピラミッドの重要な具体例である無限次元ガウス空間と無限次元立方体が互いに相似でないことを不変量を用いて証明した．また我々は集中現象の逆現象である消散現象の観点から“部分消散”という概念を新たに与え，それに対応するピラミッドを構成し，それらが互いに異なることを証明した．これにより測度距離空間に対応しないピラミッド全体の次元が無限次元であることが得られた．本研究に関する論文も現在執筆中である．

Research Progress Status

翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。

Research Products

• [Journal Article] Convergence of metric transformed spaces (2022)
  • Author(s): Daisuke Kazukawa
  • Journal Title: Israel Journal of Mathematics Volume: 印刷中
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Boundedness of precompact sets of metric measure spaces (2021)
  • Author(s): Daisuke Kazukawa, Takumi Yokota
  • Journal Title: Geometriae Dedicata Volume: 215 Issue: 1 Pages: 229-242
  • DOI: 10.1007/s10711-021-00646-7
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Concentration of Product Spaces (2021)
  • Author(s): Daisuke Kazukawa
  • Journal Title: Analysis and Geometry in Metric Spaces Volume: 9 Issue: 1 Pages: 186-218
  • DOI: 10.1515/agms-2020-0129
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Presentation] 測度距離空間全体およびピラミッド全体の位相的性質 (2022)
  • Author(s): 数川大輔
  • Organizer: 平戸微分幾何学研究討論会
• [Presentation] 測度距離空間全体およびピラミッド全体の位相的性質 (2022)
  • Author(s): 数川大輔
  • Organizer: 確率論と幾何学
  • Invited
• [Presentation] プレコンパクトな測度距離空間族の順序有界性 (2022)
  • Author(s): 数川大輔，横田巧
  • Organizer: 日本数学会2022年度年会
• [Presentation] 次元が無限大に発散する楕円体列および球面列・射影空間列の収束 (2021)
  • Author(s): 数川大輔
  • Organizer: 第68回幾何学シンポジウム
  • Invited
• [Presentation] 対数ソボレフ型の最良定数の空間収束に関する連続性について (2021)
  • Author(s): 数川大輔
  • Organizer: 数理解析若手交流会
• [Presentation] Convergence of metric transformed spaces (2021)
  • Author(s): Daisuke Kazukawa
  • Organizer: The 6th China-Japan Geometry Conference
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 距離変換された空間列の収束 (2021)
  • Author(s): 数川大輔
  • Organizer: 日本数学会2021年度年会