超局所解析・半古典解析を用いたシュレディンガー作用素の研究

• Project/Area Number: 20J00221
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 国内
• Review Section: Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
• Research Institution: Ritsumeikan University
• Principal Investigator: 平良 晃一 立命館大学, 総合科学技術研究機構, 特別研究員(PD)
• Project Period (FY): 2020-04-24 – 2023-03-31
• Project Status: Declined (Fiscal Year 2021)
• Budget Amount: ¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000); Fiscal Year 2021: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000); Fiscal Year 2020: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
• Keywords: 自己共役性 / スペクトル理論 / 散乱理論

Outline of Research at the Start

半古典シュレディンガー作用素の共鳴極の性質について：本研究の物理学的な視点での解釈を述べる．古典力学を考えたときに粒子が捕捉されるような系を考える．本研究ではこれに対応する量子系において，粒子がトンネル効果を通じて消滅していくスピードや収束する様子を定量的に解析する．これを具体的なモデルの解析から始めてそれがどの程度一般化できるかを考える，という手順を踏んで研究を行う．
閉多様体上の微分作用素の本質的自己共役性について：微分作用素の本質的自己共役性は物理学的には，粒子が満たさなければならない境界条件の一意性を意味する．本研究では，境界条件がいつ一意性になるかを古典力学的な視点から明らかにする．

Outline of Annual Research Achievements

今年度得られた研究結果は以下の通りである：
(1)3 次元離散シュレディンガー作用素の l^p 型レゾルベントの解析を行った.この研究ではレゾルベント評価を，超曲面上の面積測度の Fourier変換の減衰オーダーを導出するという調和解析の問題に帰着できることを利用して 3 次元の場合の離散空間の異方 性の影響(レゾルベント評価が成り立つ最良の p)を明らかにした.この調和解析の問題は Erdos と Salmhofer により研究されていたが，それは部分的な研究でかつ最良な結果ではなかった.これらの問題を曲面の曲率の効果を詳しくみることで解決して最良な結果を得た.
(2)1 次元トーラス上の実主要型の擬微分作用素を考察し，その本質的自己共役性と対応する Hamilton 流の完 備性の同値性を証明した.これにより，当初研究計画で予想していた主張を 1 次元の場合に証明でき，かつ近年Colin-de-VerdierとBihan によりなされた予想を部分的に解決した．手法としては，以前自身が書いた論文中の 反発型シュレディンガー作用素の場合の証明を応用した.今回考えているのは 1 次元の場合なので，実主要型という条件を用いると主シンボルが非退化な特異点しかもたないことがわかる．すると，特異点の周りで古典軌道 が具体的に計算可能でかつ radial 評価を使って特異性の伝播を計算することができる.
(3)漸近的に Minkowski な Lorentz 多様体上で Klein-Gordon 作用素を考え，その極限吸収原理を証明した.また，レゾルベントの実軸への極限が Gerard と Wrochna により構成された Feynman 伝播関数と一致することを示した.

Research Progress Status

翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。

Research Products

• [Journal Article] Some properties of threshold eigenstates and resonant states of discrete Schrodinger operators (2020)
  • Author(s): Yuji Nomura, Kouichi Taira
  • Journal Title: Annales Henri Poincare Volume: 21 Issue: 6 Pages: 2009-2030
  • DOI: 10.1007/s00023-020-00912-6
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Limiting absorption principle onLp-spaces and scattering theory (2020)
  • Author(s): Taira Kouichi
  • Journal Title: Journal of Mathematical Physics Volume: 61 Issue: 9 Pages: 092106-092106
  • DOI: 10.1063/5.0011805
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Uniform resolvent estimates for the discrete Schrodinger operators in dimension three (2020)
  • Author(s): Kouichi Taira
  • Journal Title: Journal of Spectral Theory Volume: -
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Scattering theory for repulsive Schrodinger operators and applications to limit circle problem (2020)
  • Author(s): Kouichi Taira
  • Journal Title: Analysis & Partial Differential Equations Volume: -
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Essential self-adjointness of real principal type operators (2020)
  • Author(s): Shu Nakamura, Kouichi Taira
  • Journal Title: Annales Henri Lebesgue Volume: -
  • Peer Reviewed
• [Presentation] Uniform Sobolev estimats for discrete Schrodinger operator in dimen- sion three (2021)
  • Author(s): 平良 晃一
  • Organizer: 日本数学会2021年度春季総合分科会
• [Presentation] Limiting absorption principle and Feynman propagator on asymptotically Minkowski spacetimes (2020)
  • Author(s): 平良 晃一
  • Organizer: スペクトル散乱理論とその周辺
  • Int'l Joint Research