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曲面の写像類群のバーチャル埋め込みに関する剛性について

Research Project

Project/Area Number 20J01431
Research Category

Grant-in-Aid for JSPS Fellows

Allocation TypeSingle-year Grants
Section国内
Review Section Basic Section 11020:Geometry-related
Research InstitutionGakushuin University

Principal Investigator

片山 拓弥  学習院大学, 理学部, 特別研究員(PD)

Project Period (FY) 2020-04-24 – 2023-03-31
Project Status Completed (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help
¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Keywords曲面の写像類群 / バーチャル埋め込み / Masur--Minsky理論 / 有限指数部分群 / 単射準同型 / 直角アルティン群 / 擬等長埋め込み
Outline of Research at the Start

本研究は,曲面の被覆および埋め込みという位相的操作と,写像類群のバーチャル埋め込みという代数的操作の間の関係を解き明かすことを目指している.ここで群のバーチャル埋め込みとは,その群の指数有限部分群から出る単射準同型のことである.写像類群の間のバーチャル埋め込みは本質的には上に述べた曲面の位相的操作から誘導される,ということを採用者は予想している.本研究では,直角アルティン群と呼ばれる,曲面上の本質的閉曲線の集合から自然に得られる群を用いることにより,曲面の位相的操作と写像類群の代数的操作を橋渡しするこの予想を解き明かしていく.

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は曲面の写像類群の間のバーチャル埋め込みおよび擬等長埋め込みと曲面の位相幾何学との関係を明らかにすることである。
トーラスの写像類群の球面の写像類群へのバーチャル埋め込みの考察を曲面のパンツ分解や曲線系を用いて行った。特殊ではあるが非自明な例でトーラスの写像類群から球面の写像類群へのバーチャルな埋め込みが存在しないことを確認した。しかし例の一般化を試みたが叶わず、2021年度の進捗状況から有意義な進展があったとは言い難い。
また、ブレイド群の勝手なバーチャル埋め込みが既知のバーチャル埋め込みの合成から誘導されるかという問題を曲面上の曲線族を用いて考察し、特殊な例では誘導されることを確認した。一般化のためには部分曲面の擬アノソフ写像と呼ばれる写像類がブレイド群の生成元の冪の像としてあり得るか、という問題を解く必要があったが、この問題を年度内に解決できず、残念ながら一般的な結果を得ることができなかった。問題をより精緻に捉えることができたと言う意味では進展があった。
さらに、写像類群の間に擬等長埋め込みが存在するか否かを考察するため、部分群である直角アルティン群の写像類群への擬等長埋め込みを研究した。直角アルティン群のマーキング複体への作用を主に取り扱ったが、既存の研究を超える成果は得られなかった。ただし副産物としてMasur--Minskyの理論の一部、特にbounded geodesic image theoremの一部を向き付け不可能曲面について一般化することができた。

Research Progress Status

令和4年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

令和4年度が最終年度であるため、記入しない。

Report

(3 results)
  • 2022 Annual Research Report
  • 2021 Annual Research Report
  • 2020 Annual Research Report
  • Research Products

    (12 results)

All 2023 2022 2021 Other

All Journal Article (1 results) (of which Peer Reviewed: 1 results) Presentation (10 results) (of which Int'l Joint Research: 3 results,  Invited: 4 results) Remarks (1 results)

  • [Journal Article] Right-angled Artin groups and curve graphs of nonorientable surfaces2023

    • Author(s)
      Takuya Katayama and Erika Kuno
    • Journal Title

      Geometriae Dedicata

      Volume: 217 Issue: 4 Pages: 1-15

    • DOI

      10.1007/s10711-023-00788-w

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Pure braid groups in mapping class groups of surfaces2022

    • Author(s)
      Takuya Katayama
    • Organizer
      Indo-Japanese on-line workshop on surface groups and geometric structures
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Virtual embeddings of braid groups into mapping class groups of surfaces2022

    • Author(s)
      片山 拓弥
    • Organizer
      リーマン面に関連する位相幾何学
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] ブレイド群の曲面の写像類群へのバーチャル埋め込みについて2022

    • Author(s)
      片山 拓弥
    • Organizer
      日本数学会2022年度秋季総合分科会
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
  • [Presentation] Pure braid groups in mapping class groups of surfaces2022

    • Author(s)
      Takuya Katayama
    • Organizer
      The 17th East Asian Conference on Geometric Topology
    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Pure braid groups in mapping class groups of surfaces2021

    • Author(s)
      Takuya Katayama
    • Organizer
      Geometry of discrete groups and hyperbolic spaces
    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Pure braid groups in mapping class groups of surfaces2021

    • Author(s)
      Takuya Katayama
    • Organizer
      拡大KOOKセミナー2021
    • Related Report
      2021 Annual Research Report
  • [Presentation] Right-angled Artin groups and curve graphs of nonorientable surfaces I2021

    • Author(s)
      片山拓弥
    • Organizer
      日本数学会2021年度秋季総合分科会
    • Related Report
      2021 Annual Research Report
  • [Presentation] The mapping class group of a nonorientable surface is quasi-isometrically embedded in the mapping class group of the orientation double cover II2021

    • Author(s)
      片山拓弥
    • Organizer
      日本数学会2021年度秋季総合分科会
    • Related Report
      2021 Annual Research Report
  • [Presentation] Pure braid groups in mapping class groups of surfaces2021

    • Author(s)
      Takuya Katayama
    • Organizer
      Friday Seminar on Knot Theory
    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] 曲面の写像類群に含まれる純ブレイド群の最高次数について2021

    • Author(s)
      片山拓弥
    • Organizer
      結び目の数理IV
    • Related Report
      2021 Annual Research Report
  • [Remarks] Takuya Katayama (片山 拓弥)

    • URL

      https://takuyakatayama.web.fc2.com/index.html

    • Related Report
      2022 Annual Research Report 2021 Annual Research Report 2020 Annual Research Report

URL: 

Published: 2020-07-07   Modified: 2024-03-26  

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