正標数関数体上の超越数論：Mahler関数と4指数問題
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20J21203
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| Research Category |
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Section | 国内 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
井手 春希 慶應義塾大学, 理工学研究科(矢上), 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2020-04-24 – 2023-03-31
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥2,800,000 (Direct Cost: ¥2,800,000)
Fiscal Year 2022: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2021: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000)
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| Keywords | 超越数 / 代数的独立 / Mahler関数 / 線形回帰数列 |
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| Outline of Research at the Start |
正標数関数体上の超越数論とは、有限体係数の有理関数体を有理数体の類似物とみなすことで展開される超越数論である。本研究では、Mahler関数と呼ばれるある種の関数方程式を満たす関数の理論を研究し、標数0のMahler関数論と正標数のMahler関数論の相互作用的な発展を試みる。さらにその応用として指数関数の正標数類似物であるCarlitzの指数関数の値の超越性を考察し、4指数問題と呼ばれる未解決問題の正標数類似を研究する。
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| Outline of Annual Research Achievements |
一般に、各々代数的独立であることが知られている複素数体の複数個の部分集合に対して、その和集合が代数的独立であるか否か判定することは困難である。
令和4年度は、この問題に関する次の結果を得た。すなわち、2変数整関数の無限族であって、「それら関数族の任意の代数点における値および任意の階数の偏導関数値をすべて併せて得られる無限集合が代数的独立となる」という性質を有するものの具体例を構成した。
この無限族に属する各々の関数は、単位円内の代数的数を底とし適切な条件を満たす共通の線形回帰数列を指数に持つ数列によってある明示的な方法で定義され、そのような数列の底を後述の条件のもと変化させることによって関数の無限族が得られる。これら関数各々に対して、その任意の代数点における値および任意の階数の偏導関数値からなる無限集合が代数的独立であることは前年度までの研究において証明が与えられていた。しかしそのような状況であっても、初めに述べたように、関数族として上記の性質を有することの証明はまったく容易でない問題であった。
本研究では、前述の数列の底を「ペアごとの乗法的独立性」という条件のもとで変化させることで目的の性質が達成されることを、関連分野の先行研究には見られない独自のアイデアによって証明した。特に、Fibonacci数列と2つの異なる素因子のみを用いた簡明な定義式によって目的の性質を有する関数の無限族を構成できたことは意義深い。
以上の結果をまとめた論文が査読付き学術雑誌に受理され、掲載予定である。
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| Research Progress Status |
令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
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Report
(3 results)
Research Products
(11 results)
