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動的境界条件下における粘性項付きカーン・ヒリアード方程式の解析

Research Project

Project/Area Number 20J23013
Research Category

Grant-in-Aid for JSPS Fellows

Allocation TypeSingle-year Grants
Section国内
Review Section Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
Research InstitutionWaseda University

Principal Investigator

香川 渓一郎  早稲田大学, 理工学術院, 特別研究員(DC1)

Project Period (FY) 2020-04-24 – 2023-03-31
Project Status Completed (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help
¥2,500,000 (Direct Cost: ¥2,500,000)
Fiscal Year 2022: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
Fiscal Year 2021: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
Fiscal Year 2020: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
Keywords動的境界条件 / 緩和過程 / カーン・ヒリアード方程式 / 斉次ディリクレ境界条件 / 極大単調作用素
Outline of Research at the Start

本研究は合金に見られる相分離現象を記述するために導出されたカーン・ヒリアード方程式に粘性項を付加した方程式について,境界での未知関数が時間発展する動的境界条件の下での初期値問題を扱う.主に関数解析や偏微分方程式論の手法を用いて,初期値問題の適切性(解の存在や一意性,安定性)や他の方程式の初期値問題の解への漸近の仕方を調べ,数値シミュレーションを活用して動的境界条件下での解の数値的な挙動を調べる.

Outline of Annual Research Achievements

斉次ディリクレ境界条件下での粘性項付きカーン・ヒリアード方程式の時間周期問題の適切性と、その解をアレン・カーン方程式やカーン・ヒリアード方程式の時間周期解に漸近させる極限問題を扱った研究成果が国際研究誌 Journal of Fixed Point Theory and Applications に出版された。この論文では、2020年に発表した成果である粘性項付きカーン・ヒリアード方程式の初期値問題の解を基に、いくつかの不動点定理を駆使して議論を進めた。非線形項を極大単調項と非単調摂動項との和に分解することで、同種の問題を扱った先行結果に比べ、条件を大幅に緩めた。
またGMS型動的境界の下での粘性項付きカーン・ヒリアード方程式の初期値問題の解の存在について、従来は内部の非線形項が境界の非線形項によって制御されるとする、物理的意味付けが不明確な仮定が課されていた。これに対し、この仮定を排除する代わりに内部の非線形項の増大度に制限を掛ける仮定の下で解の存在を示した。この結果を日本数学会秋季総合分科会にて発表した。
更にカーン・ヒリアード方程式の単純な形の動的境界問題について離散変分導関数法に基づく構造保存スキームで空間1次元での数値計算を実施した。単純な形の動的境界条件と従来の斉次ノイマン境界条件やディリクレ境界条件との比較を行った。また境界上の時間発展に関わるパラメタがある値に近づくと、解の定常解への緩和が急激に遅くなるという現象を初めて発見し、日本応用数理学会第19回研究部会連合発表会にて報告した。

Research Progress Status

令和4年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

令和4年度が最終年度であるため、記入しない。

Report

(3 results)
  • 2022 Annual Research Report
  • 2021 Annual Research Report
  • 2020 Annual Research Report
  • Research Products

    (9 results)

All 2023 2022 2021 2020

All Journal Article (3 results) (of which Peer Reviewed: 3 results) Presentation (6 results) (of which Invited: 2 results)

  • [Journal Article] The time-periodic problem of the viscous Cahn-Hilliard equation with homogeneous Dirichlet boundary condition2023

    • Author(s)
      Keiichiro Kagawa and Mitsuharu Otani
    • Journal Title

      Journal of Fixed Point Theory and Applications

      Volume: 25 Issue: 1

    • DOI

      10.1007/s11784-022-01044-6

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Asymptotic limits of viscous Cahn-Hilliard equation with homogeneous Dirichlet boundary condition2022

    • Author(s)
      Keiichiro Kagawa, Mitsuharu \^Otani
    • Journal Title

      Journal of Mathematical Analysis and Applications

      Volume: 512 Issue: 1 Pages: 126106-126106

    • DOI

      10.1016/j.jmaa.2022.126106

    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Viscous Cahn-Hilliard Equation with Dirichlet Boundary Condition2020

    • Author(s)
      K. Kagawa, M. Otani
    • Journal Title

      Advances in Mathematical Sciences and Applications

      Volume: 29 Pages: 35-63

    • Related Report
      2020 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] 動的境界条件下でのCahn--Hilliard方程式における緩和の遅れ2023

    • Author(s)
      香川渓一郎, 山崎義弘
    • Organizer
      日本応用数理学会研究部会連合発表会
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
  • [Presentation] Viscous Cahn--Hilliard方程式の解の方程式内係数に関する漸近極限問題2022

    • Author(s)
      香川渓一郎
    • Organizer
      非線形発展方程式セミナー@KUE
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Existence of solutions for initial value problem of viscous Cahn--Hilliard equation with dynamic boundary condition2022

    • Author(s)
      香川渓一郎, 大谷光春
    • Organizer
      日本数学会2022年度秋季総合分科会
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
  • [Presentation] 単純な動的境界条件下におけるCahn-Hilliard方程式の緩和過程2022

    • Author(s)
      香川渓一郎, 山崎義弘
    • Organizer
      日本応用数理学会2022年度年会
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
  • [Presentation] 動的境界条件下のCahn-Hilliard方程式の緩和過程2022

    • Author(s)
      香川渓一郎, 山崎義弘
    • Organizer
      非平衡・多階層・複雑系研究会
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
  • [Presentation] Dirichlet境界条件下でのViscous Cahn-Hilliard方程式の初期値問題2021

    • Author(s)
      香川渓一郎
    • Organizer
      非線形発展方程式セミナー@KUE
    • Related Report
      2020 Annual Research Report
    • Invited

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Published: 2020-07-07   Modified: 2024-03-26  

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