| Project/Area Number |
20K03515
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
権 寧魯 九州大学, 基幹教育院, 教授 (30302508)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2023: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2022: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
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| Keywords | セルバーグ型ゼータ関数 / 素測地線定理 / 誤差項の評価 / 代数体の類数分布 / 多重三角関数 / 跡公式 / セルバーグゼータ関数 / 不定値直交群 / ジーゲルモジュラー多様体 / ワイルの法則 / ヒルベルトモジュラー群 / 高階の導関数 / 非ユニタリ表現付き跡公式 / 跡公式の単純化 / 跡公式の多重差分 / 純四次体 / 素測地線型定理 / 擬尖点形式 / 保型形式 / ゼータ関数 |
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| Outline of Research at the Start |
セルバーグ跡公式は保型形式やゼータ関数を研究するための強力な道具の一つであるが，扱う群の実階数が高い場合，跡公式自身が非常に複雑な形をしており，直接的な整数論への応用に向かない形をしている．本研究では，跡公式から得られる数論的情報を取捨選択する一つの手法として，「擬尖点形式」という試験関数を用いた“カルタン部分群”に沿った「跡公式の分割」の理論の構築，更なる一般化や細分化を研究する．さらに，得られた「跡公式の分割」を用いて，多変数のセルバーグゼータ関数，関連する保型形式，数論的な応用の研究を行う．
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| Outline of Annual Research Achievements |
一般の局所対称空間に対して、一変数もしくは多変数のセルバーグ型ゼータ関数を定義し、その解析的性質を調べることによって数論的な応用を得ることが研究の主目的であった。特に階数２以上、非コンパクトで体積有限な場合が、数論的応用において重要であるが、現在まであまり研究されてこなかった。筆者は過去の研究において、階数２の非コンパクト局所対称空間の典型例であるヒルベルトモジュラー曲面に対する重さ(0,2)のセルバーグ型ゼータ関数を定義し、その解析的性質を詳しく調べることで、このヒルベルトモジュラー群の「原始的双曲‐楕円共役類」を数える「素測地線定理」を誤差項付きで証明した。併せて、証明の鍵となるヒルベルト‐マース形式の存在に関する固有値分布の「ワイルの法則」も証明した。以上の結果をさらに精密にすべく、
今年度は(A)ヒルベルトモジュラー群に対する素測地線定理の精密化：(A1)ギャラガー型素測地線定理、(A2)誤差項の二乗平均評価、
階数１の局所対称空間であるが、まだ未解明な点があった(B)複素双曲多様体に対するルエルゼータ関数の解析的性質、について研究を実施した。
(A)については、それぞれヒルベルトモジュラー群の場合に拡張した。証明の鍵となるのは、ヒルベルトモジュラー群に対する跡公式の二重差分公式の各局所項の“適切な”評価であった。(B)については、筆者が過去の研究で得ていた一般の階数１の局所対称空間に対する非自明Mタイプ付きセルバーグゼータ関数のガンマ因子の明示公式が鍵となり、複素双曲多様体に対するルエルゼータ関数の関数等式が多重三角関数を用いて表示できることが分かった。
以上の結果をさらにより一般の階数２以上の局所対称空間の場合に拡張し、代数体の類数分布などの数論的な応用を得ることはこれからの課題である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一般の局所対称空間に対するセルバーグ型ゼータ関数やルエル型ゼータ関数の新たな定義や構成、解析的性質の解明を通して、
数論的な応用を得ることは研究の主目的であった。今年度新たに、
（i）ヒルベルトモジュラー群に対する素測地線定理の精密化
（ii）複素双曲多様体に対するルエルゼータ関数の解析的性質の解明
について、研究の進展がいくつかあり、研究計画はおおむね順調に進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度はあまり進展がなかったが有望な方法と思われる：具体的な階数２の群上の“特異点を持った”異なるKタイプをもつ一般化Whittaker関数の明示公式を用いて、それらの線形結合から「擬尖点形式」を具体的に構成し、構成された「擬尖点形式」を試験関数として適用した“単純化した跡公式”を用いて、セルバーグ型ゼータ関数を定義し、その解析的性質を調べる。あわせて、数論的応用も研究する。
また、他の階数１の局所対称空間でも、そのルエルゼータ関数の関数等式や解析的性質がよくわかっていない場合があり、それらの場合にも筆者の過去の研究で得ていた一般の階数１の局所対称空間に対する非自明Mタイプ付きセルバーグゼータ関数のガンマ因子の明示公式も用いて研究をすすめ、数論的応用も研究する。
引き続き、関連があると思われる“PollicottとSharpによるHigher Teichmuller理論に現れるゼータ関数”との関連をより詳細に調べたい。
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