| Project/Area Number |
20K03519
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
田中 孝明 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (60306850)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥2,730,000 (Direct Cost: ¥2,100,000、Indirect Cost: ¥630,000)
Fiscal Year 2023: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2022: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2021: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2020: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
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| Keywords | 代数的独立性 / 線形回帰数列 / Mahler関数 / 群作用 / 無限積 / 非対称性 / 超越数 / 空隙級数 / 代数学 / 数論 / 解析数論 / 超越数論 |
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| Outline of Research at the Start |
超越数の実例の構成は困難な問題である。特に、代数的独立であるような、即ち 有理数係数の多項式で表される関係式で結び付けられないような、多数の超越数を構成することは容易ではない。本研究は、代数的独立な超越数の実例を一つの関数を用いて最も効率良く構成することを目的とする。具体的には、一つの関数であって、その定義域内にあるすべての代数的数における値（或いは、そのような点における任意の階数の微分係数）をすべて併せても代数的独立となる、という著しい性質をもつ関数を構成する。
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| Outline of Annual Research Achievements |
2023年度は「完全代数的独立性の拡張」について研究した。関数が完全代数的独立性を有するとは、その定義域内にある、代数的数を成分とする点（代数点という）すべてにおける関数値から成る無限集合が代数的独立となることをいう。研究内容を具体的に述べると次のようになる。多変数関数であって、ある有限群が当該関数の定義域に作用し、同一の関数値を与える点はすべてこの群作用による同一の軌道に属するものを考える。即ち、当該関数はこの群作用に関してinvariantである。そして、この群作用に関する軌道全体の集合上の写像が自然に定義される。この写像が「完全代数的独立性の拡張」となる性質を有するのは、代数点に代表される任意の相異なる軌道における値がすべて代数的独立となるときである。2023年度は任意の位数の２面体群を固定したとき、その作用に関して完全代数的独立性の拡張概念の実例となる多変数関数の構成を目指し、代数点に代表される軌道における値から成る無限集合が代数的従属となるための必要十分条件を得た。そのような条件は、初年度の本研究の土台となった、冪級数であって0でない係数をもつ項の次数に大きな跳びがあるもの（空隙級数という）と類似している。即ち、空隙級数の代数点における値が代数的従属とすれば、関係式の中で既約なものは１次式に限られることと同様である。具体的に述べると次のようになる。完全代数的独立性の拡張概念の実例となる多変数関数は、拡張されたLambert級数として与えられる。その相異なる代数点における値が代数的従属となるのは、分母が一致する項たちの分子どうしが打ち消し合う場合に限られる。これは、完全代数的独立性の拡張概念の実例となる多変数関数の代数点における値が代数的従属とすれば、関係式の中で既約なものは１次式に限られることを意味する。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
任意の個数の変数を持つ複素整関数であって、偏微分完全代数的独立性を有するものを構成した論文が海外の著名な学術誌に掲載された。偏微分完全代数的独立性とは、代数的数を成分とするすべての点における値および、そのような点における任意の階数の偏微分係数をすべて併せても代数的独立となる、という多変数関数としての著しい性質である。そのような性質を有する関数を任意の次元で構成できたことにより、完全代数的独立性の高次元化という本研究の目的を完全に達成した。
また、「研究実績の概要」欄で述べた完全代数的独立性の拡張概念については、任意に固定した位数の２面体群の作用に関してinvariantとなる多変数関数を構成した。これは、位数の小さい２面体群の作用に関してのみ成果が得られていた前年度から大きく進展したものである。
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| Strategy for Future Research Activity |
「研究実績の概要」欄で述べた完全代数的独立性の拡張概念の実例となる多変数関数は、線形回帰数列により生成される拡張されたLambert級数として与えられる。今後はそのような多変数関数の、代数点に代表される軌道における値から成る無限集合が代数的従属となるための必要十分条件から更に進んで、完全代数的独立性の拡張概念である、群作用に関する軌道全体の集合上で定義された、完全代数的独立性を有する写像そのものを構成する。現時点では、線形回帰数列の自然数を法とした剰余類への分布を制限することにより、任意の位数の２面体群の作用に関してinvariantとなる実例が構成できることが分かっている。さらに、線形回帰数列に適切な条件を課すことにより、完全代数的独立性の拡張概念の実例を構成する。適切な条件とは具体的には当該線形回帰数列の階差数列の連続する項の最大公約数に関する条件である。場合によっては、自然数を法とした剰余類への分布に更なる制限を課す必要があるかも知れない。そのようにして線形回帰数列により生成される拡張された多変数Lambert級数を構成し、完全代数的独立性の拡張概念の実例を得る。
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