ゼータ関数を用いた符号と不変式および暗号の数論的構造の研究
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20K03524
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Kindai University |
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Principal Investigator |
知念 宏司 近畿大学, 理工学部, 教授 (30419486)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥1,820,000 (Direct Cost: ¥1,400,000、Indirect Cost: ¥420,000)
Fiscal Year 2022: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2021: ¥390,000 (Direct Cost: ¥300,000、Indirect Cost: ¥90,000)
Fiscal Year 2020: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
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| Keywords | ゼータ関数 / 線型符号 / リーマン予想 / 不変式 / 不変式論 / 整数論 / 暗号 |
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| Outline of Research at the Start |
誤り訂正符号は、デジタル方式で情報を伝える際に生じる誤りを、できるだけ正しく訂正する機構である。暗号は、情報を他人に知られないようにするための仕組みで、ともに現代社会に不可欠なものである。いずれの技術も、基礎には数学理論があり、純粋数学的手法により知見を広げることは将来の技術革新のためにも重要である。本研究は、整数論の研究対象であるゼータ関数を軸に、これらの理論の発展に寄与することを目指している。
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度も、線型符号のゼータ関数に関する研究を行なった。これは、1999 年に Duursma によって導入された比較的新しいゼータ関数であり、符号の重み多項式の母関数として特徴づけられるものである。特に興味が持たれている問題は、自己双対符号の場合に、よい符号はリーマン予想を満たすか、というものである。線型符号は応用数学、ゼータ関数は整数論という純粋数学に属するものであることから、応用、整数論両面で興味が持たれてきたテーマである。より具体的に述べると、extremal と呼ばれる一連の自己双対符号はリーマン予想を満たすか、という問題である。これは一部の系列を除き、完全には解決されていない。研究代表者らは、少し別の方向を探ることで、このゼータ関数の本質に迫ろうとしてきた。それは必ずしも線型符号と関連をもたない不変式への拡張である。その方向でも様々な興味深い性質が明らかとなってきた。例えば、MacWilliams 変換で不変という条件のみを課した場合には、非常に幅広い領域にリーマン予想を満たす不変式が存在することなどである (Chinen, 2008)。逆に符号と関連をもたない不変式の集合には、extremal と呼んでよい不変式で、リーマン予想を満たさないものがある、といったこともわかった（Chinen, 2019）。本研究期間全体では、自己双対符号の重み多項式にきわめて近い不変式において、実在の符号の場合と類似の性質を証明し（Chinen, 2020 および 2021）、種数が３および４の自己双対重み多項式の場合に、そのゼータ関数がリーマン予想を満たすための一つの必要十分条件を導出した（Chinen-Imamura, 2021）。このように一定の成果が得られた。本年度はこの方向をさらに推し進めるべく、一般の種数に関する結果を目指して研究を行なった。
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Report
(4 results)
Research Products
(3 results)
