A study of the structure of inner projections of projective varieties and its applications
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20K03531
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Yokohama National University |
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Principal Investigator |
野間 淳 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 教授 (90262401)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000)
Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2020: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
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| Keywords | 射影多様体 / 線形射影 / 射影埋め込み / 定義方程式 / 斉次イデアル / 二重点因子 / 代数学 / 代数幾何学 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究の目的は，点を中心とする射影多様体の線形射影の構造について調べることである．具体的な例を集めることにより，その構造について，何が一般であり，何が特殊であるかを不変量などを用いて特徴づけることである．特に，点が射影多様体の上にある場合について詳しく調べる．
射影の構造として，外セグレローカス,内セグレローカスの配置や成分の個数，そして線形射影に付随する二重点因子に注目する．他方で，これら以外の新たな構造や性質を発見することを目指す．未解決問題である射影多様体の割線の長さ問題や射影多様体の定義式の問題，さらに背後にあるregularity予想問題へのアプローチを行い解決を目指す．
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，射影多様体の点線形射影の構造について，理論的な考察と計算機代数の手法による計算により具体的な例を集めることで，一般の線形射影と特殊なものを，不変量などを用いて特徴づけることである．研究を継続してきた，セグレローカスと二重点因子に注目する．点線形射影が射影多様体とその像の双有理写像を，通常と違い引き起こさないとき，射影の中心点を非双有理中心点と呼び，多様体の外にある非双有理中心点の全体を外セグレローカス，多様体の非特異点である非双有理中心点の全体を内セグレローカスと呼ぶ．他方，射影多様体を超曲面と双有理となるように線形射影したときの，多様体上の分岐因子を二重点因子と呼ぶ．
2022年度は，線形射影，二重点因子に関するこれまでの研究結果が，正標数の場合にどこまで拡張できるかに重点を置いて研究した．特に，正標数ではあるが標数0として扱えると考えられる，定義体の標数pと射影多様体の次数dがp>dを満たす場合を考察した．これをもとに，計算機代数上での計算につなげることを目標とした．セグレローカスの線形性は先行研究で定義方程式を調べる方法で既に示されているが，元々のセグレの方法を検討し別証明をまず得た．更に，セグレローカスを持つ射影多様体の構造の特徴づけとその分類についても，上記の条件を満たせば標数0の場合と同様の結果が成立することが証明できた．これらのまとめと応用の研究は現在検討中であり，標数0とは違いが生じる場合の研究は今後の課題である．他方で，これまで行ってきた「Segre loci of scrolls over curves」に関して，セグレローカスをもつスクロールを構成し，その定義方程式を与え，論文としてまとめた．
これらをもとに，与えられた多様体の定義方程式からセグレローカスと二重点因子に関する不変量を具体的に計算することは，2023年度の課題となった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究目的の達成に向けて，いくつかの研究小課題で部分的な成果が得られているが，現時点で研究成果としてまとめられていないため．また，予定していた研究打合せが，感染症予防と本研究とそれ以外の業務に想定外の時間を必要としたために十分行えなかったため.
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| Strategy for Future Research Activity |
2023年度の課題となった，線形射影，セグレローカス，二重点因子のこれまでの研究を定義体の標数pが射影多様体の次数dに比べて大きな場合に拡張しそれらを成果としてまとめることに重点を置いて研究を進める．並行して，これらを基づくセグレローカスの計算において，想定される方法の理論的な考察検討を進め，計算機代数プログラムによる計算を進める．これまで得られているセグレローカスを持つ射影多様体の例にこれらを適用していく．さらに一般の場合に着手できれば，最新の計算機を導入して実例の計算を進める．これらの過程で得られる知見を検証し結果としてまとめる．さらに，文献調査や考察による実例の構成を進めこれらについて計算を行う．この過程で得られる中間的な結果について，研究の情報交換や研究打ち合わせにより，多角的な視点で研究を進める．研究打ち合わせ等は，直接行うことを予定する．研究対象として，線形射影の二重点因子やその他にも着目して研究を進める.
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Report
(3 results)
Research Products
(2 results)
