Research on the algebraic-geometric codes based on adelic vector bundles
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20K03544
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Japan Women's University |
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Principal Investigator |
中島 徹 日本女子大学, 理学部, 教授 (20244410)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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| Keywords | 代数幾何符号 / ベクトル束 / adelic曲線 / adelic符号 / Seshadri定数 / adelic ベクトル束 / Arakelov幾何学 |
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| Outline of Research at the Start |
データを送信する過程で生じた誤りを訂正し、元の情報を復元するための誤り訂正符号は現代のIT社会に欠かせない技術である。本研究では、数と図形を共通の枠組で取り扱うことを可能にするadelic幾何学と呼ばれる理論を用いて、従来知られている既知の様々な符号を統一する新しいタイプの符号(adelic符号)を導入する。又、その性質を調べることによって従来より高い性能をもつadelic符号を構成することを目指す。
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| Outline of Annual Research Achievements |
当研究の課題はadelic曲線上のベクトル束を用いて定義された新しい型の代数幾何符号であるadelic符号の諸性質を解明することであった。令和２年度から令和５年度までの期間に以下の様な研究成果を挙げることができた。
まず令和２年度ではadelic符号の数学的に厳密な定式化を行い、そのパラメーターの基本的性質を明らかにした。また、偏極多様体型のadelic符号の例として曲線上のベクトル束に付随したグラスマン束上の符号を考察し、最小距離の評価式を得た。
令和3年度に於いては、曲線上のファイバー構造をもつ射影多様体とその上の直線束から定義される符号のパラメーターに関する研究を行った。特に、符号を定義する直線束の順像として得られるベクトル束のasymptotic minimal slopeを用いて正値性をもつ因子を構成することにより、交点理論を用いて符号の次元と最小距離が計算できることを明らかにした。また、高階のadelicベクトル束から定まる符号についても研究を行い、ベクトル束のSeshadri定数を用いることによってadelic符号の最小距離の評価式を得た。
令和4年度では、また、アーベル多様体や超曲面をファイバーにもつ射影多様体上の符号のパラメーターの決定を行った。また、非特異射影多様体上の安定層のコホモロジー群の次元に対する上からの評価式を証明し、4次元多様体上の安定束の4次チャーン類に対するBogomolov-Gieseker型不等式を導くことに成功した。
最終年度である令和5年度では、グラスマン束の拡張である旗束から定義される符号のパラメーターの決定を行った。また、射影多様体上の安定束の存在問題についても考察し、代数曲面上のファイバー構造をもつ3次元多様体上には第2チャーン類の次数が無限大に発散する様な任意の階数の安定束の無限列が存在することを証明した。
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Report
(4 results)
Research Products
(2 results)
