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Elliptic surfaces, branched covers and the topology of plane curve arrangements

Research Project

Project/Area Number 20K03561
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Review Section Basic Section 11010:Algebra-related
Research InstitutionTokyo Metropolitan University

Principal Investigator

徳永 浩雄  東京都立大学, 理学研究科, 教授 (30211395)

Project Period (FY) 2020-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Keywords楕円曲面 / 超楕円曲線 / Mumford表現 / quasi toric relation / Zariski pair / 曲線配置 / 低次曲線配置 / ザリスキ・ペア / quasi-toric relations / Groebner基底 / 因子類 / contact curve / quasi-toric relation / マンフォード表現 / ザリスキ対 / 分解数 / モーデル-ヴェイユ格子
Outline of Research at the Start

本課題は,(i) 楕円曲面S上の因子のマンフォード表現を利用した平面曲線Cの構成を積極的に行い,(ii) その背後にある数論的性質や新たな不変量を用いて,Cの埋め込み位相を研究し,その新展開を図ることを目的としている.これまでSの幾何学的性質はSの切断のなす群の群構造およびその数論的性質を考察するために利用されることが多かった.本研究ではこれまでの視点とは逆で,数論的考察から幾何学およびトポロジーへ応用を目指している.また,マンフォード表現を導入することで種数の高いfibered曲面への 拡張することも期待される.さらに新たな展開として公開鍵暗号などへの応用といった展開も視野に入れる.

Outline of Annual Research Achievements

2023年度も引き続き超楕円曲線,楕円曲線の因子の表現とその幾何学への応用について以下に述べるような研究を行った.
(1)2023年度には,論文 Ramified and Split models of elliptic surfaces and bitangent lines of quartic curvesを出版した.本論文は,S. Bannai, E. Yorisakiとの共著である.また,Algebra i Analizから2022年に出版されていた論文 Torsion divisors of plane curves and Zariski pairs Algebra i Analizの英語版であるS.Petersburg Math. J.から出版された.
(2) 研究実績について,研究論文については,以下のような状況である: (i) 2022年度から始まったイスラエルのMeirav Amram, Uriel Sinichkin及S.Bannai, T. Shiraneらとのconic-line配置の研究については,論文を完成させ現在投稿中である.(ii) S. Bannai, R. Masuya, T. Shirane, Y. Yorisaki等と共著でPonceletの閉定理に由来するconic-line配置のZariski pairに関する論文を完成させ現在投稿中である.(iii) S. Bannai, T.Shiraneとともに射影平面の2次被覆に関して数論の視点からの研究についてサーベイ論文を完成させ,現在投稿中である.なお,本論文は,超楕円曲線の因子の記述法について,2022年に発表した論文以降の進展についてまとめたものをAppendixとして含んでいる.
(3) 研究実績のうち, 研究成果の発表については以下の通りである:(i) 海外では,2023年6月にはハカ(スペイン), 8月にはウランバートル(モンゴル),9月には,クイニョン(ベトナム)で行われた研究集会及びセミナーにて口頭発表を行った.(ii) 国内では12月に新潟と湯布院で開催された研究集会で口頭発表を行った.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

2023年度は, 新型コロナ感染症の影響はほぼ無くなり,研究集会やセミナーを対面で行うことが可能となった.代表者が世話人の一人である代数曲面ワークショップも制限を無くし,対面で3回(東京都立大学,東京電機大学,徳島大学)開催した.また,2023年度は海外での研究活動も活発に行い,本研究課題に関連して得られら成果の報告を行った.まず,6月にはハカ(スペイン)で開催された国際集会 115AM Algebraic and topological interplay of algebraic varietiesにオーガナイザーとして参加し,さらに講演も行った.続いて,8月にはウランバートル(モンゴル)で開催されたワークショップWorkshop on Algebraic Geometry and Topology 2023で講演し,9月にはクイニョン(ベトナム)で開催された日越二国間の研究集会Workshop Topology of Singularities and Related Topicsにおいても講演を行った.さらに,国内では,2軒の口頭発表を行った.2022年は成果発表に比べると,2023年度は研究代表者自身が全ての口頭発表を行なっている点が前年までとは異なる点である.研究成果の発表については,口頭発表の他に,3つのpreprintを共同執筆し,現在全て投稿中である.
これらの状況を考慮すると,「概ね順調」判断となった.

Strategy for Future Research Activity

1. 2023年度までと同じく,今年度も共同研究者と共に現在執筆中の論文(2023年度に得られた成果も含める)の執筆を進め,受理を目指す. 2. 2023年度に
構成したconic-line 配置の例では楕円曲面上の因子の具体的な構成法が鍵であった.その手法は,因子のMumford表現にDedekind整域のイデアルの視点を取り込み,さらにGroebner基底を利用した解釈を用いた点が特色であった.同様の手法は combinatoricsを固定した他のconic-line 配置のパラメータ空間の連結性の研究でも有効であることがわかってきた. そこで,これまでに扱った7次のconic-line 配置含んだクラスに対してその手法を適用し,conic-line配置の埋め込み位相の研究を進める. 3. Dedekind整域のイデアル論とGroebner基底を取り込んだ曲線の因子類群の行う.4. 2023年までに行ったその他の研究についても引き続き進める.

Report

(4 results)
  • 2023 Research-status Report
  • 2022 Research-status Report
  • 2021 Research-status Report
  • 2020 Research-status Report
  • Research Products

    (21 results)

All 2023 2022 2021 Other

All Int'l Joint Research (3 results) Journal Article (6 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Peer Reviewed: 6 results) Presentation (11 results) (of which Int'l Joint Research: 5 results,  Invited: 7 results) Funded Workshop (1 results)

  • [Int'l Joint Research] Shamoon College of Engineering/Tel Aviv University(イスラエル)

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  • [Int'l Joint Research] Univerisidad de Zaragoza(スペイン)

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  • [Int'l Joint Research] Shamoon College of Engineering/Tel Aviv University(イスラエル)

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  • [Journal Article] Ramified and Split models of elliptic surfaces and bitangent lines of quartic curves2023

    • Author(s)
      S. Bannai, H. Tokunaga and E. Yorisaki
    • Journal Title

      Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli

      Volume: 71 Pages: 51-69

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      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Torsion divisors of plane curves with maximal flexes and Zariski pairs2023

    • Author(s)
      E. Artal Bartolo, S. Bannai, T. Shirane and H. Tokunaga
    • Journal Title

      Mathematische Nachrichten

      Volume: 電子版 Issue: 6 Pages: 1-22

    • DOI

      10.1002/mana.202000319

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      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] An explicit construction for n-contact curves to a smooth cubic via divisions of polynomials and Zariski tuple2022

    • Author(s)
      A. Takahashi and H. Tokunaga
    • Journal Title

      Hokkaido Math. J.

      Volume: 51 Issue: 3 Pages: 389-405

    • DOI

      10.14492/hokmj/2020-391

    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Representations of Divisors on Hyperelliptic Curves and Plane Curves with Quasi-toric Relations2022

    • Author(s)
      A. Takahashi and H. Tokunaga
    • Journal Title

      Commentarii mathematici Universitatis Sancti Pauli = Rikkyo Daigaku sugaku zasshi

      Volume: 70 Pages: 11-27

    • DOI

      10.14992/00022409

    • URL

      http://id.nii.ac.jp/1062/00022409/

    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Trisections on certain rational elliptic surfaces and families of Zariski pairs degenerating to the same conic-line arrangement2022

    • Author(s)
      Bannai S.、Kawana N.、Masuya R.、Tokunaga H.
    • Journal Title

      Geometriae Dedicata

      Volume: 216 Issue: 1

    • DOI

      10.1007/s10711-021-00672-5

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      2021 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Representations of divisors on hyperelliptic curves, and plane curves with quasi-toric relations2021

    • Author(s)
      Takahashi, A. and Tokunaga, H.
    • Journal Title

      Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli

      Volume: -

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      2021 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Arithmetic of double covers and its application to the topology of plane curves2023

    • Author(s)
      Hiro-o Tokunaga
    • Organizer
      115AM Algebraic and topological interplay of algebraic varieties, Jack(Spain)
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      2023 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Representation of divisors on hyperelliptic curves and its application to geometry2023

    • Author(s)
      Hiro-o Tokunaga
    • Organizer
      Workshop on Algebraic Geometry and Topology 2023 at National Univ. Mongolia.
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      2023 Research-status Report
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  • [Presentation] Representations of divisors on hyperelliptic curves and their application to geometry2023

    • Author(s)
      Hiro-o Tokunaga
    • Organizer
      Workshop Topology of Singularities and Related Topics at Quy Nhon, Vietnam
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      2023 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Poncelet closure theorem and the embedded topology of conic-line arrangements,2023

    • Author(s)
      徳永浩雄
    • Organizer
      新潟代数シンポジウム, 新潟大学
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    • Invited
  • [Presentation] 超楕円曲線上の因子の表現と平面曲線の構成2023

    • Author(s)
      徳永浩雄
    • Organizer
      湯布院代数幾何学ワークショップ, 日本文理大学湯布院研修所
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  • [Presentation] 種数2の超楕円曲線のJacobian上の加法とGroebner基底2023

    • Author(s)
      井上 豪希(登壇者),舛谷亮祐, 徳永浩雄
    • Organizer
      日本応用数理学会第19回研究部会連合発表会, 岡山理科大学
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      2022 Research-status Report
  • [Presentation] Splitting invariants and a π1-equivlent Zariski pair of conic-line arrangements2023

    • Author(s)
      白根竹人(登壇者),M. Amram, 坂内真三,U.Shinchkin, 徳永浩雄
    • Organizer
      2023年度日本数学会年会,中央大学
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      2022 Research-status Report
  • [Presentation] Ramified and Split models of rational elliptic surfaces and bitangent lines for a quartic curve2023

    • Author(s)
      寄崎恵美子(登壇者), 坂内真三, 徳永浩雄
    • Organizer
      2023年度日本数学会年会,中央大学
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      2022 Research-status Report
  • [Presentation] Multi-sections of elliptic surfaces and families of Zariski pairs2021

    • Author(s)
      H. Tokunaga
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      Arithmetic Algebraic Geometry and mathematical physics
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  • [Presentation] Multi-sections of elliptic surfaces and families of Zariski pairs2021

    • Author(s)
      H.Tokunaga
    • Organizer
      Singularities, arrangements, and low-dim. topology, JSPS-VAST Bilateral Joint Research Project Workshop
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  • [Presentation] Representations of divisors on hyperelliptic curves and Groenber bases2021

    • Author(s)
      A. Takahashi and H. Tokunaga
    • Organizer
      日本数学会年会
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  • [Funded Workshop] 115AM Algebraic and topological interplay of algebraic varieties, Palacio de Congresos (Jaca, Spain)2023

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URL: 

Published: 2020-04-28   Modified: 2024-12-25  

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