| Project/Area Number |
20K03570
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Kwansei Gakuin University |
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Principal Investigator |
増田 佳代 関西学院大学, 理学部, 教授 (40280416)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
宮西 正宜 関西学院大学, 特定プロジェクト研究センター, 客員研究員 (80025311)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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| Keywords | ユニポテント群の代数的作用 / アファインファイブレーション / 局所べき零微分 / 消去問題 / Abhyankar-Sathaye問題 |
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| Outline of Research at the Start |
複素数体を係数とするいくつかの多項式の零点集合として定義されるアファイン代数多様体の構造を，加法群をはじめとするユニポテント群の代数的作用の観点から研究する．特に，ユニポテント群の作用による商射が，一般ファイバーがアフィン空間であるようなアファインファイブレーションとなるとき，そのファイブレーション構造を解明する．
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. アファイン代数多様体はその座標環が素元分解整域のとき factorial とよばれる．3次元以上のfactorial なアファイン代数多様体 X上の加法群の作用から得られるA^1-ファイブレーションについて，その加法群の作用から定義される plinth イデアルと呼ばれるイデアルが主イデアルである場合に、その特異ファイバーについて同変 affine modification という手法を用いて詳しい解析をおこなった．Xが3次元アファイン空間の場合，plinthイデアルは主イデアルであることが知られている．得られた結果は「Factorial affine G_a-varieties with height one plinth ideals」と題して専門誌 Transformation Groups に発表した．
2. 3次元アファイン代数多様体 X 上に加法群が作用しており，その加法群の作用から得られるA^1-ファイブレーションがアファイン平面を底空間としてもつ場合に，そのファイブレーション構造を解析した．特にXが3次元アファイン空間の場合，A^1-ファイブレーションの底空間はアファイン平面であることが知られている．その上のファイバーが特異ファイバーであるような底空間の点のなす集合について詳しく調べ，得られた結果の一部を「Singular loci of A^1-fibrations induced by G_a-actions on affine 3-space」と題して，新潟大学理学部において2024年３月に開催された第22回アフィン代数幾何学研究集会で講演した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
3次元のfactorial なアファイン代数多様体上の加法群の作用については、そのファイブレーション構造の分類にまでは至らず，残念ながら3次元の消去問題やAbhyankar-Sathaye問題の解決には遠い状況である．3次元アファイン代数多様体の完備化についての結果はあるが，それらの結果から開代数多様体についての結果を引き出すことができていない．高次元双有理幾何学における結果を高次元アファイン代数幾何学に持ち込む手法が確立されていないことが大きな原因と思われる．これらの課題について解決することが必要である．
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| Strategy for Future Research Activity |
1.加法群の作用から得られる3次元アファイン代数多様体上のA^1-ファイブレーションについて、その特異ファイバーの入り方を明らかにする．そのために、代数的手法を用いた研究を進めることはもちろん，双有理幾何学における結果を取り込めるよう理論の整備をおこなう．
2.1で述べた研究を遂行するため，国内外の研究集会，シンポジウムに参加し，情報収集をおこなうとともに，関連する分野の研究者との討論を通して研究を進める．
3. 得られた結果はしかるべき研究集会などで発表し，アファイン代数幾何学分野の研究の活性化をはかる．
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