| Project/Area Number |
20K03573
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Muroran Institute of Technology |
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Principal Investigator |
高橋 雅朋 室蘭工業大学, 大学院工学研究科, 教授 (80431302)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
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| Keywords | 特異点論 / 微分幾何学 / 一般枠付き曲面 / 枠付き曲線 / ベルトラン型曲線 / 光錐枠付き曲面 / 光錐枠付き曲線 / 縮閉線 / 枠付き曲面 / ルジャンドル曲線 / 光的枠 / ローレンツ・ミンコフスキー空間 / 四頂点定理 / 測地線 / 包絡線 / ミンコフスキー空間 / 伸開線 / 等積アファイン曲線 / ベルトラン曲線 / 移動曲面 / 特異点 / 不変量 |
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| Outline of Research at the Start |
新たな特異点論的手法・考察を用いて、生成的な特異点だけではなく、退化した特異点に対しても、より直接的に扱うことが出来る特異点を許容する曲線・曲面論の研究とその応用の研究を行います。具体的には、特異点を許容する曲線・曲面として、枠付き曲線、枠付き曲面の更なる研究を行い、特異点を許容する曲線・曲面の微分幾何学、微分位相幾何学的性質を明らかにすることが目的です。また、本理論を用いて、implicitな微分方程式の特異解と包絡面、ミンコフスキー空間内の曲線・曲面論、アファイン曲線・曲面論等への応用の研究を行います。
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| Outline of Annual Research Achievements |
枠付き曲線、枠付き曲面の構築とその応用として、
１．３次元ユークリッド空間内の特異点を持つ曲面として、導入した一般枠付き曲面に対して、一般枠付き曲面は単位法線ベクトルが一般的に定義されないため、方向を固定した平行曲面の研究を行いました。また、一般枠付き曲面となる具体例の模索を行いました。
２．枠付き曲線論の応用として、３次元ユークリッド空間内のベルトラン曲線とマンハイム曲線の概念の拡張を行い、非退化な正則曲線と枠付き曲線に対して、それぞれベルトラン型曲線として定義し、全ての場合のベルトラン型曲線に対して（存在する場合は）その必要十分条件を求めました。また、具体例を球面ルジャンドル曲線論を用いることで得ました。
３．枠付き曲面論の応用として、３次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内の光錐枠付き曲面に対して、光錐枠付き曲面が存在するための条件や具体例を与えました。
４．枠付き曲線論の応用として、４次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内の型変化と特異点を許容する曲線の定義を光錐枠を用いて、光錐枠付き曲線として２つのタイプを与えましたが、その２つのタイプが存在するための条件とその関係性の研究を行いました。
５．枠付き曲線論の応用として、３次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内の光錐枠付き曲線に対して、円的縮閉線と円的伸開線の定義を行い、その関係性を記述しました。また、光錐枠が光錐円であるとき、その射影がルジャンドル曲線になりますが、この場合、ルジャンドルはめ込みの縮閉線と伸開線が対応することを示しました。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
令和５年度の研究として、枠付き曲線、枠付き曲面の構築とその応用として、新たに３次元ユークリッド空間内の一般枠付き曲面論、３次元ユークリッド空間内のベルトラン型曲線論、３次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内の光錐枠付き曲面論、４次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内の光錐枠付き曲線論、３次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内の光錐枠付き曲線論の研究を行い、計画通り、かつ計画に無かった新たな部分も進展しており、本研究課題は、おおむね順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
現在までの研究をまとめ論文投稿する予定である。今後の研究として、枠付き曲面の焦面の研究の継続、４次元ユークリッド空間内の枠付き曲面の研究の継続、ユークリッド空間内の一般枠付き曲面論の研究の継続、ユークリッド空間内のベルトラン型曲線論の構築、ベルトラン型曲面論の構築、ローレンツ・ミンコフスキー空間内のベルトラン型曲線論の構築、ベルトラン型曲面論の構築の研究を行います。また、関連する新たな研究も行いたい。そのため、国内外の研究集会やセミナー等に参加し、意見交換・研究打合せを行い、研究を推進します。
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