Index theorem relevant to the invariants of diffeomorphism groups
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20K03580
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
森吉 仁志 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (00239708)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
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| Keywords | 指数定理 / 非可換幾何 / 葉層多様体 / K理論 / 巡回コホモロジー / 等質中心アファイン曲線 / 微分同相群 / Alexander-Spanier コホモロジー / 葉層構造 |
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| Outline of Research at the Start |
「非可換幾何学の枠組による指数定理の拡張」と「微分同相群の不変量が関与する指数定理の展開」を主要目標に掲げ，以下のような状況において指数定理を導出する：
① 葉層多様体あるいは微分同相群の離散部分群作用があるとき，K 群と巡回コホモロジー群のペアリングを用いて，葉層特性類や微分同相群の不変量が関与する指数定理を記述する；
② 上記ペアリングを相対K 群と相対巡回コホモロジー群へ拡張して新たな指数定理を導く；
③ 一般の葉層束における族指数の二次特性類と葉層特性類あるいは微分同相群の不変量との関連を解明する．
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は「非可換幾何学の枠組による指数定理の拡張」と「微分同相群の不変量が関与する指数定理の展開」を目標としており，202２年度には以下の成果を得た：
1）F.Noether による指数公式と，我々が確立した量子ウォークに対する指数定理との関連性の解明（夏目利一との共同研究）；2）漸近的等質中心アファイン平面曲線とソリトン数との関連性に関する研究（黒瀬俊および藤岡敦との共同研究）．
1）2021年度に構成した Ginsparg-Wilson 指数が関与する量子ウォークに対する指数定理と F. Noether が証明した指数定理との関連性に関する研究を進展させた．この量子ウォークに対する指数定理は，整数格子上の指数定理となっている．これを6角格子上の量子ウォークに対する指数定理へと拡張し，さらに対象を一般化して，2分岐を繰返す無限樹木 (bibary tree) 上の指数定理を研究した．この場合には，樹木のコロナ空間がカントール集合となり，J.Roe による coarse index theorem を用いて，カントール集合上への指数定理の展開が期待できる．2022年度では，bibary tree から定義される Roe 代数の K群に指数をもつ作用素を構成することに成功した．
2）2021年度に導入した概念である「漸近的等質中心アファイン曲線」に対する研究を進展させて，その曲線に対応するソリトン解およびソリトン数との関連性を精査した．2022年度には，標準ソリトン曲線と呼ぶ漸近的等質中心アファイン曲線をルジャンドル関数を用いて構成することに成功した．さらに，この中心アファイン曲線の曲率が無反射ポテンシャルとなるときのソリトン数，つまりこのポテンシャルをもつシュレディンガー作用素の束縛状態の個数を，漸近的等質中心アファイン曲線の回転数で記述する公式を見出した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
新型コロナウイルス感染症拡大の影響により，2021年度に続いて2022年度においても研究集会の開催中止開催規模の縮小，またオンライン開催への移行などが行われたため，予定していた講演や研究連絡を延期せざるを得ず，計画遂行のための科研費使用に関して多くの困難が発生したた．2022年度に予定していた海外渡航もすべて中止となり，研究の進展に大きな障害が生じている．現在のところ，国内の研究者と行っている等質中心アファイン平面曲線のなす空間の研究（夏目利一との共同研究，黒瀬俊および藤岡敦との共同研究）に関しては，オンラインをでの研究連絡や個別の研究連絡を重ねており，一定度の進捗を得ている．
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| Strategy for Future Research Activity |
先に述べたように，新型コロナウイルス感染症拡大の影響により研究の進展が大幅に遅れている．2023年度には，1）量子ウォークが関与する指数定理と Noether 指数定理の関連性の解明とその一般化（夏目利一との共同研究）；2）等質中心アファイン平面曲線のなす空間の研究（黒瀬俊および藤岡敦との共同研究）；を完成水準にまで到達させ，成果報告を行うことを目標とする．夏目利一との共同研究についてはプレプリントを執筆中である．さらに黒瀬俊および藤岡敦との共同研究については，研究連絡を密に行って論文を完成させる．
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Report
(3 results)
Research Products
(3 results)
