結び目群間の全射準同型と結び目の不変量との関連についての研究
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20K03596
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
鈴木 正明 明治大学, 総合数理学部, 専任教授 (70431616)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
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| Keywords | 結び目群 / 全射準同型 / 全射凖同型 |
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| Outline of Research at the Start |
結び目の補空間の基本群を結び目群と呼ぶ。結び目群は結び目の不変量であり、二つの結び目群に対して何らかの比較や関係が決定できるのであれば、それにより結び目の性質を調べることができ、結び目理論において非常に役に立つと思われる。そこで本研究では、結び目群間の全射準同型に着目し、結び目の様々な性質は全射準同型の存在によって引き継がれるかという問題が考える。
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| Outline of Annual Research Achievements |
これまで結び目群間の全射準同型の存在もしくは非存在についての研究を行っていた。その研究と並行して結び目群間の全射準同型の存在と結び目の幾何的な性質の関係、特に不変量の関係について考察をした。
結び目を考察する上で、全ての結び目を対象にすることは難しいので、最初に考察すべき結び目のクラスである2橋結び目に限定する。2橋結び目は有理数と対応していて、その有理数の連分数展開を用いて、その交点数や結び目の種数を求めることができる。一方、2橋結び目については、先行研究によってそれらの有理数による表示を用いて結び目群間に全射準同型の存在の必要十分条件が知られている。
これらの結果を用いて、以前に2橋結び目の種数や組みひも指数との関連について研究した結果を用いて、2橋結び目間に全射準同型が存在に関する極小元を構成した。また組みひも指数が小さい場合においてどのようなタイプの2橋結び目の間に全射準同型が存在するかを決定した。
これらと共に組みひも指数と交点数の関連について研究を行った。それにより、交点数の固定した際に、その交点数の全ての2橋結び目の組みひも指数の和を求め、平均値を求めた。これは以前に種数と交点数の関連を調べた研究の組みひも指数における問題となる。さらに同様な問題をstick numberについて考察できることから、これらの問題に取り組んだ。ここでstick numberは長さが一定の線分を何本用いるとその結び目が構成できるかという値である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年まではコロナ禍の影響により、研究が遅れがちだったが、おおよそ通常の研究体制に戻り、研究を進めることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
残された全射準同型の存在が決定できていない組の決定を試みると共に、それらの幾何的考察や不変量との関連について考察する。
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Report
(4 results)
Research Products
(23 results)
