結び目群間の全射準同型と結び目の不変量との関連についての研究

• Project/Area Number: 20K03596
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Meiji University
• Principal Investigator: 鈴木 正明 明治大学, 総合数理学部, 専任教授 (70431616)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2025-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000); Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2021: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000); Fiscal Year 2020: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
• Keywords: 結び目群 / 全射準同型 / 全射凖同型

Outline of Research at the Start

結び目の補空間の基本群を結び目群と呼ぶ。結び目群は結び目の不変量であり、二つの結び目群に対して何らかの比較や関係が決定できるのであれば、それにより結び目の性質を調べることができ、結び目理論において非常に役に立つと思われる。そこで本研究では、結び目群間の全射準同型に着目し、結び目の様々な性質は全射準同型の存在によって引き継がれるかという問題が考える。

Outline of Annual Research Achievements

これまで結び目群間の全射準同型の存在もしくは非存在についての研究を行っていた。その研究と並行して結び目群間の全射準同型の存在と結び目の幾何的な性質の関係、特に不変量の関係について考察をした。
結び目を考察する上で、全ての結び目を対象にすることは難しいので、最初に考察すべき結び目のクラスである2橋結び目に限定する。2橋結び目は有理数と対応していて、その有理数の連分数展開を用いて、その交点数や結び目の種数を求めることができる。一方、2橋結び目については、先行研究によってそれらの有理数による表示を用いて結び目群間に全射準同型の存在の必要十分条件が知られている。
これらの結果を用いて、以前に2橋結び目の種数や組みひも指数との関連について研究した結果を用いて、2橋結び目間に全射準同型が存在に関する極小元を構成した。また組みひも指数が小さい場合においてどのようなタイプの2橋結び目の間に全射準同型が存在するかを決定した。
これらと共に組みひも指数と交点数の関連について研究を行った。それにより、交点数の固定した際に、その交点数の全ての2橋結び目の組みひも指数の和を求め、平均値を求めた。これは以前に種数と交点数の関連を調べた研究の組みひも指数における問題となる。さらに同様な問題をstick numberについて考察できることから、これらの問題に取り組んだ。ここでstick numberは長さが一定の線分を何本用いるとその結び目が構成できるかという値である。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

昨年まではコロナ禍の影響により、研究が遅れがちだったが、おおよそ通常の研究体制に戻り、研究を進めることができた。

Strategy for Future Research Activity

残された全射準同型の存在が決定できていない組の決定を試みると共に、それらの幾何的考察や不変量との関連について考察する。

Research Products

• [Int'l Joint Research] The University of Texas at Dallas(米国)
• [Journal Article] A non-commutative Reidemeister-Turaev torsion of homology cylinders (2023)
  • Author(s): Y. Nozaki, M. Sato, and M. Suzuki
  • Journal Title: Transactions of the American Mathematical Society Volume: 376 Pages: 5045-5088
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Abelian quotients of the Y-filtration on the homology cylinders via the LMO functor (2022)
  • Author(s): Y. Nozaki, M. Sato, and M. Suzuki
  • Journal Title: Geometry and Topology Volume: 26 Pages: 221-282
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] On the kernel of the surgery map restricted to the 1-loop part (2022)
  • Author(s): Y. Nozaki, M. Sato, and M. Suzuki
  • Journal Title: Journal of Topology Volume: 15 Pages: 587-619
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] On a theorem of Friedl and Vidussi (2022)
  • Author(s): T. Morifuji and M. Suzuki
  • Journal Title: International Journal of Mathematics Volume: 33 Pages: 14-14
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Generating functions on epimorphisms between $2$-bridge knot groups (2021)
  • Author(s): Masaaki Suzuki
  • Journal Title: Journal of Knot Theory and Its Ramifications Volume: 30 Pages: 24-24
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Torelli group, Johnson kernel and invariants of homology spheres (2020)
  • Author(s): S. Morita, T. Sakasai, M. Suzuki
  • Journal Title: Quantum Topology Volume: 11 Pages: 379-410
  • Peer Reviewed
• [Presentation] Twisted Alexander polynomials of knots associated to the regular representations of finite groups (2024)
  • Author(s): Masaaki Suzuki
  • Organizer: Knot theory, LMO invariants and related topics
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] On the vanishing and the non-vanishing of the twisted Alexander polynomial (2023)
  • Author(s): 鈴木正明
  • Organizer: Intelligence of Low Dimensional Topology
  • Invited
• [Presentation] On the minimal orders of knots and the twisted Alexander polynomial (2023)
  • Author(s): Masaaki Suzuki
  • Organizer: OIST Hikami Unit seminar
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Some properties on the braid index of a two-bridge knot (2023)
  • Author(s): 鈴木正明
  • Organizer: トポロジーとコンピュータ
• [Presentation] Twisted Alexander Vanishing order (2023)
  • Author(s): 鈴木正明
  • Organizer: 拡大KOOKセミナー
• [Presentation] Twisted Alexander Vanishing order (2023)
  • Author(s): 鈴木正明
  • Organizer: 東京女子大学トポロジーセミナー
  • Invited
• [Presentation] Twisted Alexander vanishing order of knots (2023)
  • Author(s): Masaaki Suzuki
  • Organizer: Winter School on Low-dimensional Topology
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] On a theorem of Friedl and Vidussi (2022)
  • Author(s): 鈴木正明
  • Organizer: トポロジーとコンピュータ
• [Presentation] Genera and crossing numbers of 2-bridge knots (2022)
  • Author(s): 鈴木正明
  • Organizer: 日本数学会
• [Presentation] Genera and crossing numbers of 2-bridge knots (2022)
  • Author(s): 鈴木正明
  • Organizer: 拡大KOOKセミナー
• [Presentation] Knot group, symmetric group, dihedral group, and twisted Alexander polynomial (2022)
  • Author(s): Masaaki Suzuki
  • Organizer: East Asian Conference on Geometric Topology
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Epimorphisms between knot groups and twisted Alexander polynomial (2022)
  • Author(s): Masaaki Suzuki
  • Organizer: Topology and Geometry of Low-dimensional Manifolds
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Generating function on epimorphisms between 2-bridge knot groups (2021)
  • Author(s): Masaaki Suzuki
  • Organizer: East Asian Conference on Geometric Topology 2021
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Epimorphisms between two-bridge knot groups - crossing number, genus (2020)
  • Author(s): Masaaki Suzuki
  • Organizer: トポロジーとコンピュータ2020
• [Presentation] On a structure of the symplectic derivation Lie algebra of the free Lie algebra (2020)
  • Author(s): Masaaki Suzuki
  • Organizer: Teichmuller Theory: Classical, Higher, Super and Quantum
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Funded Workshop] Knot theory, LMO invariants and related topics (2024)