Topology of the embedding spaces and the finite type invariants
| Project/Area Number |
20K03608
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
境 圭一 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (20466824)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2024: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2023: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2022: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2020: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
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| Keywords | 埋め込みの空間 / 配置空間積分 / グラフ / Vassiliev不変量 / Fox-Hatcherサイクル / Gramainサイクル / オペラッド / 埋め込みのなす空間 / operad / 多重ループ空間 / Hochschild複体 / 配置空間 / Operad / Gerstenhaber代数 / Hochschildホモロジー / 有限型不変量 / 特性類 |
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| Outline of Research at the Start |
結び目理論は低次元トポロジーにおいて主要な位置を占めるのみならず，たんぱく質やDNAの構造解析に応用されるなど，自然科学全般においても重要な対象である．本研究では，結び目の分類において有用な「有限型不変量」について，結び目全体のなす空間の位相幾何学という大局的な立場から調べることを目的とする．結び目全体のなす空間にまつわる様々な幾何学的対象の「特性類」として有限型不変量を特徴づけることが目標である．
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に引き続き，埋め込みのなす空間，特にn次元Euclid空間内のlong knotと呼ばれるタイプの埋め込みの空間K_nについて，その位相幾何学的性質を，Vassiliev不変量との関連を意識した立場から調べた．
2021年度は，加納早貴氏との共同研究により，ある非3価グラフコサイクルに付随した配置空間上の積分によって得られるK_3の1次微分形式をFox-Hatcher (FH) サイクル上で積分することにより，3次のVassiliev不変量が得られることを示していた．2022年度はこの成果をさらに詳細に見直すことで，defect 1のグラフコサイクル（非3価グラフのうち退化の度合いが最も小さいもの）が任意に与えられたとき，そのFHサイクル上での積分がいつもVassiliev不変量を与えることを見出した．これはK_3に関する結果だが，コサイクルのサイクル上での積分の計算については一般のK_nの場合にも同様である．非3価グラフコサイクルがK_nの非自明なコホモロジー類を与えるかどうかは一般には知られておらず，いくつかの散発的な例が知られているに留まるが，defect 1のグラフに対しては非自明性の証明に見通しが立ちつつある．またFHサイクルはK_nのホモロジー上定義されるBatalin-Vilkovisky (BV) 作用素とも関連があり，本研究の成果はBV作用素の非自明性の証明にもつながるものと考えられる．
研究代表者の過去の研究ではGramainサイクル上でのコサイクルの積分とVassiliev不変量を関連づける例も与えられているが，上記の結果においてFHサイクルをGramainサイクルに置き換えた形で同様の成果も与えることができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の目的は埋め込みの空間の位相幾何学とVassiliev不変量の関連を明らかにすることである．Vassiliev不変量の配置空間積分による構成を一般化して，グラフコサイクルに付随する配置空間積分によりlong knotの空間のコホモロジー類が得られる．その非自明性の証明は最も大きな懸案の1つであるが，3価グラフの部分を除いてはほとんど進展は見られない．2022年度に得た成果はこの状況を打開する可能性のあるもので，無限個の非3価グラフコサイクルについて非自明性の証明に繋がり得るものである．実際に非自明性が示されたわけではないものの，非3価グラフについての数少ない一般的な成果が得られた．さらに，非自明性の証明には小球のなすoperadの作用が鍵を握ると考えていたが，概ねその通りであったことも特筆に値する．Fox-Hatcherサイクル上は，本質的に枠付き小球のなすoperadの作用が導くBV作用素である．
以上のような観点から，進捗状況としてはおおむね順調と考える．
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| Strategy for Future Research Activity |
2022年度に得た成果を使って，非3価グラフから得られるコサイクルの非自明性を実際に示したい．そのためには，グラフコサイクルの構成に伴う組み合わせ的な困難を解決する必要がある．方策の1つとして，2019年度に考察していた，L無限代数（の変種）を使ったグラフコサイクルの構成を再度検討したい．これはLie代数を使った3価グラフコサイクル（とVassiliev不変量）の構成の一般化である．重み系の計算が可能な程度に簡単なL無限代数の具体的な例を見つけ出し，それを使って実際に非3価グラフコサイクルを構成すれば，2022年度に得た成果により，コサイクルのFHサイクル上での積分は機械的に計算できる．同様のことは位相幾何学に現れる様々な対象についても行われており，例えばA無限代数を使って写像類群の分類空間のコホモロジー類を得られることが知られている．こういった類似の結果を手本として，具体的な計算を実行できるのではないかと考えている．
以上は3価からの退化の度合いが最も小さいグラフに関する計画である．退化の度合いがさらに大きいグラフについても考察を進めたい．方策としてはやはり小球のなすoperadの作用によるホモロジー作用素を用いることになる．作用素を繰り返し適用し，コホモロジー類を特定するホモロジー類の構成を試みたい．
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Report
(3 results)
Research Products
(6 results)
