Structural stability problem of real algebraic maps and its application
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20K03611
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Hyogo University of Teacher Education |
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Principal Investigator |
小池 敏司 兵庫教育大学, その他部局等, 名誉教授 (60161832)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小川 聖雄 兵庫教育大学, 学校教育研究科, 准教授 (50408704)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
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| Keywords | 構造安定性 / 結構次元 / ナッシュ写像 / 実解析写像 / 半代数的同値 / 部分解析的集合 / ジェットの十分性 / 相対ジェットの十分性 / 幾何学的方向束 / ジェットの十分生 |
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| Outline of Research at the Start |
少し摂動しても、その挙動のタイプが変わらない写像を安定と呼ぶ。写像空間の中で安定写像が至る所にあるとき、構造安定であるという。数学だけでなく、数学の他の分野への応用を考えるとき、この構造安定性の概念は非常に重要である。構造安定性問題については、Thom-Mather の理論として、可微分写像に対する可微分構造安定性定理と位相構造安定性定理がよく知られているが、近年、実解析写像に対する実解析構造安定性定理が示されている。本研究では、まだ取り扱われていない実代数的写像に対する実代数的構造安定性定理を確立し、そこで得られた結果を安定写像を通した可微分多様体のトポロジーの研究分野へ応用する。
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の第一目標は、実代数的写像（ナッシュ多様体間のナッシュ写像）に対する構造安定性問題を解決することである。特に、その結構次元（ナッシュ安定写像全体がナッシュ写像空間内で開かつ稠密になる多様体の次元の対）が、塩田昌弘氏、K. Bekka 氏、大本亨氏によって決定付けられた実解析写像の結構次元に一致することを示すことである。この一致性については昨年度に示しており、第一目標は解決済みである。しかし、上記の実解析写像の結構次元の決定結果の証明には、必ずしも完全ではない箇所が見つかっている。そのため、その不十分さを埋める目的から、亡くなられた塩田氏のアイデアも参考に、Bekka 氏、大本氏、田邊真郷氏との共同で、結構次元でない多様体の次元の対を特徴付ける共同研究を行い、５人の共著論文を書き上げた。この論文は、現在、欧州の雑誌に投稿中である。
無限回連続的微分可能写像の構造安定性問題を展開する上で重要になる概念の一つに、Rene Thom によって導入されたジェットの十分性がある。このジェットの十分性の概念を一般化した相対ジェットの十分性について、外国人研究協力者であるフランス・レンヌ大学の Karim Bekka 氏との共同研究でその特徴付けを与え、共著論文を書き上げていたが、当該年度に日本の雑誌より出版された。
一方、写像や集合が同値でないことを示す上で必要になる不変量導入の観点から、外国人研究協力者であるオーストラリア・シドニー大学の Laurentiu Paunescu 氏と、幾何学的接方向束のリプシッツ型について共同研究を行い、当該年度に共著論文を書き上げた。この論文は欧州の雑誌に受理されている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究実績の概要欄でも述べたように、本研究の第一目標は解決済みであるが、当初、問題にしていなかった塩田氏、Bekka 氏、大本氏による実解析写像の結構次元の決定結果の証明に不完全さが見つかり、それを埋めるための研究もすることになった。結構次元でない多様体の次元の対に対する特徴付けは与えたが、その特徴付けから外れる次元の対が結構次元であることを示す必要があり、現在、大本氏、田邊氏達と取り組んでいる。一つの次元対の系列を除いて、結構次元になることを示している。
また、昨年度までのコロナの影響で、外国人研究協力者達との相互訪問を通した共同研究で取り組もうとしていた、本研究の第二目標である「実解析写像の部分解析的構造安定性定理の確立」については、漸く、研究に取り掛かったところである。
以上の理由により、やや遅れているとした。
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| Strategy for Future Research Activity |
現在までの進捗状況欄で述べたように、解決済みになった一致性に関する第一目標の結果をよりよくするためには、実解析写像の結構次元の決定問題に決着をつけることが重要である。そのため、後一つ残っている次元対の系列について、大本氏、田邊氏達との対面での議論やメールのやりとりを通して、実解析写像の結構次元になっていることを示す。
外国人研究協力者達と始めている第二目標である「実解析写像の部分解析的構造安定性定理の確立」については、相互訪問やメールのやりとりを通して、取り組んで行く。
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Report
(4 results)
Research Products
(13 results)
