| Project/Area Number |
20K03613
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
門田 直之 岡山大学, 環境生命自然科学学域, 准教授 (60611986)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000)
Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | 写像類群 / 生成系 / Lefschetz fibration / シンプレクティック4次元多様体 |
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| Outline of Research at the Start |
4次元多様体とは, 至る所が4次元空間に見えるようなものである. 本研究ではシンプレクティックとよばれる綺麗な性質をもつ4次元多様体の新しい例の構成や構成法そのものの開発に取り組む.円などの平面図形は数式と対応している. これと同様にシンプレクティックという性質を持つ4次元多様体はある文字列と対応する. この文字列を複雑に変形することで, 上述の研究に取り組む.
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| Outline of Annual Research Achievements |
向き付け可能閉曲面の微分同相写像のアイソトピー類のなす群を写像類群という。Dehn-Lickorishの定理やHumphriesの定理で知られるように, 写像類群は有限個のDehn twistで生成される。有限生成系が与えられると最小の生成系を与えようという問題が考えられるが、この問題に最初に答えたのはWajnrybである。彼は写像類群が2元で生成できることを示した。写像類群は1元で生成できないことが知られているので、Wajnrybの生成系は最小である。この研究以降、様々な写像類群の最小の生成系を与えようという研究が多くの数学者たちによりなされてきた。申請者は、この研究をより精密化し、『写像類群の最小の正規生成系を与えよ』という問題を考え取り組んだ。NielsenとThurstonの結果により、写像類群の元は、周期的、既約、擬アノソフの３種類に分類できることが知られている。ただし, 周期的な元からなる集合と既約な元からなる集合には共通部分がある。これまでに, この分類に従って以下のような写像類群の最小の正規生成系(1),(2),(3)が与えられている。(1)周期的かつ既約でない元からなる最小の正規生成系(Korkmaz), (2)周期的かつ既約な元からなる最小の正規生成系(Yildiz), (3)擬アノソフの元からなる最小の正規生成系(廣瀬-門田, 昨年度)。これらの結果に対し, 今年度では, 既約かつ周期的でない元からなる最小の正規生成系を与えた。正確に述べると、向き付け可能曲面の種数が8以上であれば、写像類群は既約かつ周期的でない2つの共役な元で生成できることを示した。また、写像類群の重要な部分群である超楕円的写像類群に対しても同様の結果を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度は、向き付け可能な閉曲面の写像類群に対し、2つの共役な擬アノソフ写像類でストレッチファクターがいくらでも大きいものからなる生成系を与えた。これに対し、今年度は2つの共役で周期的でないが既約な写像類からなる生成系を与えている。これは当初予定していた写像類群の生成系の研究よりも進んだ内容に踏み込むことができているため、おおむね順調に進展しているとした。
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度は写像類群の生成系に関する研究に重きを置いていたが、今年度は特殊な写像類をright-handed Dehn twistで表すという研究に集中したい。特に、トーラス結び目のモノドロミーを標準的な閉曲面上の単純閉曲線についてのDehn twistの積で表すということに取り組む。
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