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広義正則曲面の微分幾何に関する体系的研究

Research Project

Project/Area Number 20K03617
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Review Section Basic Section 11020:Geometry-related
Research InstitutionTokyo Denki University

Principal Investigator

國分 雅敏  東京電機大学, 工学部, 教授 (50287439)

Project Period (FY) 2020-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥2,080,000 (Direct Cost: ¥1,600,000、Indirect Cost: ¥480,000)
Fiscal Year 2022: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2020: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Keywords微分幾何 / 広義の正則性 / 解析的拡張 / 特異点 / 曲率 / 平均曲率 / 平坦 / 波面 / 対称性 / 正則性 / 微分幾何学 / 曲面
Outline of Research at the Start

曲面に関する数学の研究は長い歴史を持ち,正則曲面(滑らかな曲面)について非常にたくさんの研究があります.その研究対象を少し広い範囲に拡げて,研究に取り組むことが目的です.現在,広義正則曲面(得点を持つ曲面,異質な性質の混在する曲面)については何人かの研究者により様々な興味深い結果が導かれているところです.それらの本質的な部分に着目して,より体系的な理論構築への寄与を目指します.

Outline of Annual Research Achievements

2023 年度に取り組んだ研究は,主に次の2つのテーマであった.(1)(特異点を許容する)曲面や部分多様体の解析的拡張に関する研究 (2)3次元 Euclid 空間において,Gauss 曲率の等高線族が同心円状の族をなす曲面および平行直線族をなす曲面の研究.
(1) について:当初想定していた研究対象よりも広い対象で研究すべきことに気がつき,これまでの研究成果の再構築の必要に迫られるなど一進一退の状況となった.より具体的に述べると,研究対象が解析的であるにも関わらず,その構造を一旦忘れた上で位相構造のみに立脚した理論の構築が必要であることに気づき,弱い仮定・前提からやり直すこととなった.このテーマについては,共同研究に負う部分が多く,共同研究者らとの研究討議を多く実施した.
(2) について:この研究で扱った曲面も特異点(曲面が定義されない部分)をもつ場合があり,広義の正則性を有するものが現れる.具体例の構成に留まらず,面積要素の対称性を仮定に置くなどして,やや弱い結果となるが,ある曲面族の特徴づけを示すことができた.その他いくつかの結果を含めて論文にまとめ,幾何学関連の学術雑誌に投稿中であった.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

本研究課題に取り組んで4年目の年であったが,上でも述べたようにテーマ (1) については一進一退の状況であった.また,2023 年度はテーマ(1), (2) のほかにもう一つ「曲率一定の曲面に限らない広義の正則曲面の探査的研究」を研究テーマに掲げていたが,そこまで手が回らなかった.以上の理由で,自己評価は低めとする.
しかし,テーマ (2) に関する研究をまとめた論文は 2024年5月5日にJornal of Geometry から出版され,本報告書執筆時点では出版済である.出版された論文の研究対象には,広義の正則性をもつ曲面と呼べるものが含まれており,研究開始当初に想定していた対象のひとつと言えよう.部分的ではあるが,解明が期待された事柄が少しずつ得られている状態と言えよう.
また,執筆中の共著論文がある状態であり,継続的な取り組みができている.これらの理由から低評価の中にも好材料も見られる状況にあると言えよう.

Strategy for Future Research Activity

他の研究者とのディスカッションや共同研究は,対面型を原則とすることに戻したが,オンラインの活用など,新たに得たノウハウも取り入れ,効率的な取り組みを行いたい.その上で次の3テーマの取り組みの継続を重点としたい.
(1)一般的な仮定の下で,解析的曲面の解析的完備性(解析的極大性)について研究を進める.ここで述べた一般的仮定とは,定曲率計量の入った多様体に限らず,より一般の実解析多様体及びそれを一般化したものである.
(2)3次元 Euclid 空間において,Gauss 曲率の等高線族が同心円状の族をなす曲面の中で,唯一発見できている例の族について,その特徴づけを与えることができているが,改良の余地があるのではないかと推測している.その解明に取り組む.とくに,射影幾何との関連を調べたい.
(3)曲率一定の曲面に限らず,広義の正則曲面と呼べる対象が存在する可能性がある.これに関して,探査的研究を行う.

Report

(4 results)
  • 2023 Research-status Report
  • 2022 Research-status Report
  • 2021 Research-status Report
  • 2020 Research-status Report
  • Research Products

    (5 results)

All 2024 2022

All Journal Article (3 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Peer Reviewed: 3 results,  Open Access: 2 results) Presentation (2 results) (of which Invited: 2 results)

  • [Journal Article] Surfaces with concentric or parallel K-contours2024

    • Author(s)
      Shoichi Fujimori, Yu Kawakami, Masatoshi Kokubu
    • Journal Title

      Journal of Geometry

      Volume: 115 Issue: 2

    • DOI

      10.1007/s00022-024-00719-4

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Analytic extensions of constant mean curvature one geometric catenoids in de Sitter 3-space2022

    • Author(s)
      Shoichi Fujimori, Yu Kawakami, Masatoshi Kokubu, Wayne Rossman, Masaaki Umehara, Kotaro Yamada and Seong-Deog Yang
    • Journal Title

      Differential Geometry and Its Applications

      Volume: 84 Pages: 101924-101924

    • DOI

      10.1016/j.difgeo.2022.101924

    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Flat fronts with polyhedral symmetry in hyperbolic three-space2022

    • Author(s)
      Masatoshi Kokubu
    • Journal Title

      Journal of Geometry

      Volume: 113 Issue: 1

    • DOI

      10.1007/s00022-022-00633-7

    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
  • [Presentation] On flat fronts with symmetry2022

    • Author(s)
      Masatoshi Kokubu
    • Organizer
      Workshop on Surface Theory --UY60--
    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Flat fronts in hyperbolic three-space and related topics2022

    • Author(s)
      國分雅敏
    • Organizer
      日本数学会本会
    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Invited

URL: 

Published: 2020-04-28   Modified: 2024-12-25  

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