Analyzing the topological properties of the knot contact homology by use of the ghost characters of knots

Research Project

Project/Area Number	20K03619
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 11020:Geometry-related
Research Institution	Meijo University
Principal Investigator	長郷文和名城大学, 理工学部, 教授 (30513634)
Project Period (FY)	2020-04-01 – 2024-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help	¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000) Fiscal Year 2023: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000) Fiscal Year 2022: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000) Fiscal Year 2021: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000) Fiscal Year 2020: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Keywords	結び目 / ノットコンタクトホモロジー / 指標多様体 / 二重分岐被覆 / 2重分岐被覆 / 結び目群 / 理想点
Outline of Research at the Start	本研究では「ノットコンタクトホモロジーが反映するトポロジカルな性質の完全解明」を試みる．ノットコンタクトホモロジーは，自明な結び目を識別する「unknot detector」という機能をもつ．Unknot detectorは，DNAに働く酵素がもつと考えられる１つの機能であり，DNAなどの形状解析において重要な役割を果たす．しかし，このホモロジーのトポロジカルな性質は未だ解明されていない状況であり，形状解析の精密化の観点からも，この解明が重要であると思われる．本研究では，現在までの研究成果を基に「幽霊指標」とよばれる結び目不変量のトポロジカルな性質に注目することで，上記完全解明につなげたい．
Outline of Annual Research Achievements	本研究は，結び目群のSL(2,C)表現のうち，メリディアンの像のトレースが0になるもの（トレースフリー表現）に限定し，その指標集合X（が形成する代数的集合）の幾何構造を通して，ノットコンタクトホモロジーの位相幾何学的性質の完全解明を目指している．本研究では，Xをトレースフリー指標多様体とよぶ．本研究2年目では，指標集合Xの計算効率を上げるために定義多項式の取り換えを行ったが，本研究3年目では，この取り換えにより，Xの定義多項式を与えるよりシンプルな証明を与えることができることがわかった．その証明について，現在，論文を執筆中である． Xの上記定義多項式の取り換えにより，計算効率は非常に向上している状況が計算機実験からも伺える．特に，本研究において導入した「幽霊指標」を有する結び目の例については，計算機実験により，いくつかの新しい成果があった．ここで，「結び目の幽霊指標」とは，Xの2重分岐被覆的構造において，「六角関係式」を満たさない（Xにリフトできない）Xの底空間Y上の点として定義される．前年度までの研究において，トーラス結び目のある無限族において，幽霊指標が存在することが，研究代表者とテキサス大学のA.T. Tran氏との結び目群間の全射準同型に関する共同研究を用いることでわかっていた．トーラス結び目に対するXでは，ある種の周期性が計算量を少なくしていたが，一般の結び目については計算が困難な状況であった．今年度はXの定義多項式の取り換えにより，周期性を持たない結び目についても計算効率が向上した．例えば，いくつかの双曲結び目において幽霊指標が存在することが計算機実験で分かった．これらの成果の関連する内容については，2023年3月に開催された研究集会でリモート講演を行った．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 本研究1,2年目に得た研究視点である「指標多様体の射影完備化」と「整数点に属する幽霊指標の存在」については，Xの計算効率は今年度の研究成果により向上はしたものの，これらに関する良いサンプルを収集するには，もう少し時間を要すると思われる．この点で，これらの研究視点においては，大きな進展は見られない．また，これらの研究視点は，本研究目的から少し離れた領域で深化できる研究ターゲットであるようにも思われる．一方，本研究の一連の成果によると，本研究の目的である「ノットコンタクトホモロジーの位相幾何学的性質の完全解明」について，以下のような視点が得られつつある．例えば，結び目のトレースフリー指標多様体Xにおいて，幽霊指標がない場合，結び目のトレースフリー指標は結び目で分岐する3次元球面の二重分岐被覆SのSL(2,C)指標と常に同値である．幽霊指標gがある場合，ｇが二重分岐被覆Sに由来するものに関しては，ｇは二重分岐被覆の指標多様体の固有のモデルである．ｇがSに由来しない場合，ｇは結び目のトレースフリー指標では捉えられない位相空間の性質であり，これがノットコンタクトホモロジーが捉える固有の性質と考えられる．これらの視点の深化が本研究の目標達成に繋がると思われるが，この遂行は，次年度に引継ぐ予定である．この研究視点において，本研究は概ね順調に進展していると言える．また，新型コロナの感染拡大に伴う大学規定で，対面での研究集会等の参加は実現できなかったが，結び目理論における最新の研究成果の情報収集を行うため，研究集会のリモート参加も積極的に行うことができた．加えて，今年度は名城大学の佐藤光樹氏とのトレースフリー表現についての議論ができたことは次年度の研究の展望につながる良い成果である（【今後の研究の推進方策】参照．）．以上を踏まえ，本研究課題の進捗状況は，おおむね順調に進展していると判断できる．
Strategy for Future Research Activity	現在までの進捗状況にも記載したように，今年度の研究においては，名城大学の佐藤光樹氏との研究打ち合わせにおいて，同氏らによりゲージ理論を用いて構成された結び目不変量の族において，ケーブル結び目のトレースフリー指標多様体Xの1次元の成分の存在が重要な役割を果たすということがわかった．現在，計算機実験において，あるケーブル結び目の1次元の成分の導出を行っており，計算機実験の結果を用いて，佐藤氏との議論を進める予定である．また，幽霊指標が上記結び目不変量の族において関連する性質を有しないか，注意深く探る予定である．昨年度に引き続き「幽霊指標の計算効率化による良いサンプルの発見」と「トーラス結び目における整数点上の幽霊指標のトポロジーの解析」も進めている．これについては，今のところ注目すべき性質を反映しているというデータは得られていない．今後も計算機の援用により多くのデータを収集し，得られたデータから，より詳細な分析を行う結び目のターゲットを探りたい．これらについては，本年度に購入した高性能の計算機によって，より複雑な結び目に対する計算機実験が可能になると思われるため，良いサンプルデータが得られることを強く期待している．また，2023年度中に新型コロナに関する行動制限が解除されるため，結び目理論における最新の研究成果の情報収集や発信については，研究集会への対面での参加も積極的に行いたい．加えて，対面での研究打ち合わせも積極的に行いたいと考えている．