| Project/Area Number |
20K03622
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | National Institute of Technology(KOSEN),Numazu College |
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Principal Investigator |
澤井 洋 沼津工業高等専門学校, 教養科, 准教授 (70550482)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2020: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
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| Keywords | 複素多様体 / 可解多様体 / べき零多様体 / エルミート構造 / 局所共形ケーラー構造 / ヴァイスマン構造 / リー形式 / Vaisman 構造 / 複素構造 |
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| Outline of Research at the Start |
ケーラー構造をもつ可解多様体はよく研究され、すでに構造定理がある。一方で、ケーラー構造をもたないものの、これをもつための必要な条件を満たす可解多様体は複数存在する。本研究では、可解多様体におけるケーラー構造の拡張となる構造を考える。
ケーラー構造の拡張として局所共形ケーラー構造がある。非ケーラー多様体の典型例である井上曲面は可解多様体であり、局所共形ケーラー構造をもつ。本研究では、局所共形ケーラー可解多様体の構造を解明する。また、既存の局所共形ケーラー多様体の例のほとんどが、可解多様体の構造をもつ。したがって、ケーラー可解多様体との比較だけでなく、今後の局所共形ケーラー幾何の研究にも役立つ。
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| Outline of Annual Research Achievements |
局所共形ケーラー幾何において、その特別な型であるヴァイスマン構造がある。ヴァイスマン構造をもつ可解多様体の構造定理を, 既に証明している。非ヴァイスマン型局所共形ケーラー可解多様体として、井上曲面が挙げられるが、一般の例としても、これくらいしか知られていない。これまでのところ、井上曲面を拡張して、新しい非ヴァイスマン型（可解）多様体の構成も試みるも、成功には至っておらず、局所共形ケーラー構造をもたない可解多様体の族を構成している。このような状況のなかで、今年度は以下の成果が得られた：
べき零多様体を1次元拡張して、可解多様体を構成する。この可解多様体が、非ヴァイスマン型局所共形ケーラー構造をもつ必要な条件を求めた。具体的には、リー形式と複素構造を用いて、このべき零多様体のトーラスとなっているある部分多様体から、複素トーラスが誘導できることを示した。即ち、局所共形ケーラーをもつこのような可解多様体のべき零多様体は、ある程度の次元の高い複素トーラスを複素部分多様体としてもつことがわかる。応用として、一部分ではあるものの、低次元（4次元、6次元）局所共形ケーラー可解多様体の分類を与え、既存の例しか存在しないことを示した。
上記の意義・重要性は以下の通り：
求めた条件や低次元の分類は、局所共形ケーラー可解多様体の構造定理を示唆している。即ち、局所共形ケーラー構造をもつ可解多様体は、既存の例しか存在しないかもしれない。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非ヴァイスマン型可解多様体の構造定理は予想できるようになったものの、その証明方法については見通しは立っていない。
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| Strategy for Future Research Activity |
局所共形ケーラー可解多様体において、リー形式と複素構造は重要な役割を果たすことはわかってきている。これを推し進め、エルミート構造（基本2次形式）とリー形式・複素構造の関係を解明し、構造定理を証明する。
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