New development of analysis and geometry on convex cones
| Project/Area Number |
20K03657
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12010:Basic analysis-related
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| Research Institution | Osaka Metropolitan University (2022-2023)
Osaka City University (2020-2021) |
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Principal Investigator |
伊師 英之 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (00326068)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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| Keywords | 等質錐 / グラフィカルモデル / ウィシャート分布 / 等質ヘッセ領域 / ジーゲル・ヤコビ領域 / ジョルダン代数 / 可解リー群 / 軌道の方法 / コーダルグラフ / ベイズ統計 / 二重自己平行部分多様体 / ハルトークス領域 / 強可視的作用 / ベルグマン核 / 等質凸領域 / リース超函数 / 連続ウェーブレット変換 / リース超関数 / 正定値実対称行列 / ヘッセ計量 |
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| Outline of Research at the Start |
等質錐の研究において申請者が導入した「行列実現の方法」を拡張し，応用数学においても重要なコーダルグラフィカルモデルを含む広いクラスの凸錐について，幾何と解析を展開する．具体的には，行列式の巾乗や対数のヘッシアンに関係する調和解析や微分幾何を，それらの構造を不変にする群作用に着目しながら考察する．等質錐と関連する空間（等質ジーゲル領域，等質ヘッセ領域）についても研究を広さと深さの両方に理論を発展させる．数理統計や凸計画法を含む様々な分野への応用も追究する．非可換調和解析の研究で培った群論的視点からのアプローチが本研究の特色である．
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| Outline of Annual Research Achievements |
置換対称性を付加したコーダルグラフィカルモデルに付随する凸錐上のガンマ積分（ある種の分配函数）について明示的な公式が得られた．グラフが完全グラフの場合は，得られる凸錐は対称錐であり，対応するジョルダン代数の構造は置換群の自然表現の既約分解を通じて記述でき，ベイズ統計によるモデル選択への応用も整備できた．この表現を既約分解することは一般に難しい問題だが，確率１で数値的に既約分解を与える方法を考案した．ここに現れる対称錐が典型例であるが，一般に半単純ジョルダン代数から定まる統計多様体の二重自己平行部分多様体を代数的に特徴付けることに成功した．
一方，多次元ガウス分布の部分モデルでパラメータ集合が凸集合で行列群が推移的に作用するものを等質ヘッセ領域の理論を用いて具体的に記述した．この等質ヘッセ領域と密接な関係にあるのが等質ケーラー領域であり，全ての等質ケーラー領域はジーゲル・ヤコビ領域に作用するアファイン変換群の群軌道で複素部分多様体となるものとして実現できることを示した．等質ケーラー多様体におけるジーゲル・ヤコビ領域の普遍性と，群が推移的に作用する指数型分布族におけるウィシャート・ガウス分布の普遍性の類似点が明瞭になったことは大きな成果である．これらの対象に作用するのは可解リー群であるが，指数型可解リー群のユニタリ表現論において微分表現の核と余随伴軌道の関係について限定的な条件のもとではあるが一つの自然な結果が得られた．その限定的な条件を緩めることが今後の課題である．
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Report
(4 results)
Research Products
(36 results)
