Mathematical analyses on predictions and controls for stable structures of free boundaries with feedback-type phase changes
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20K03672
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
白川 健 千葉大学, 教育学部, 准教授 (50349809)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
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| Keywords | 結晶粒界運動 / 重み付き擬放物型全変動流 / 放物型全変動流との相違点 / 最適制御問題 / 温度制約条件の連続的変化 / 仮似変分構造 / 処罰項による独自の近似解法 / 改良型3次元モデル / フィードバック型形態変動 / 自由境界の数学モデル / 二重の仮似変分構造 / KWC型システム / 温度最適制御問題 / 空間1次元における温度制御理論 / 一般多次元のケースの考察 / 仮似変分不等式 / 最適制御問題の数学解析 / 形状記憶合金 / 固体・液体相転移現象 / 全変動流 / 動的境界条件 / 数値計算アルゴリズムの構築 / 自由境界の安定構造 / 仮似変分不等式と有界変動函数の理論 / 抽象数学理論の汎用性と幾何学的方法による具体性 / 最適制御理論と数値計算 |
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| Outline of Research at the Start |
先端科学・工学・経済等において予測や制御の困難な形態変動が引き起こされる背景には，結果と原因が双方向に影響しあうフィードバックの作用が，大きく関与していると考えられる．この観点から，本研究では「フィードバック型形態変動」という独自の枠組みを設け，多種多様な形態変動の予測・制御に対する統一的な考察を可能とする数学理論の構築を目的とする．その上で，複雑な形態変動の解析に有効な数学理論として「仮似変分不等式」と「有界変動函数の理論」に着目し，これらをクロスオーバーさせることで「抽象数学理論の汎用性」と「幾何学的方法による具体性」の両立の実現を狙った活動を展開する．
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究計画では、「(A)フィードバック型形態変動を伴う自由境界の数学モデルの構築」「(B)最適制御問題の提案と数学解析」「(C)自由境界の形態変化に対する考察」「(D)数値計算による結果の再検証」の４つの課題を活動の柱としている。令和４年度では(A)(B)(C)の３つに重点を置いた活動を展開し、以下の研究成果を得た。
[課題(A)に関する成果] 研究対象とする結晶粒界運動の数学モデルに対し、「数学モデルの特異性の緩和」と「未解決であった解の一意性」の双方を実現可能とする独自の数学モデルを考案した。令和4年度はその基礎方程式である「重み付き擬放物型全変動流」を研究対象とした。その上で、通常の放物型全変動流との相違点の解明を目的とする活動を展開し、国内研究集会2件において得られた成果を発表した。
[課題(B)に関する成果] 前年度からの継続課題である、一般多次元における結晶粒界運動の温度最適制御理論を完成させ、査読付き論文1編の形で研究成果を発表した。また、結晶粒界運動モデルの時間周期系における制御問題の研究にも取り組み、その一環として結晶粒界運動モデルの時間周期解に関する研究成果を、国内研究集会1件において発表した。更に、仮似変分構造に支配される自由境界の最適制御問題に関する課題遂行も順調に進捗しており、今年度では処罰項による独自の近似解法に関する研究成果を、国内研究集会1件において発表した。
[課題(C)に関する成果] 現在考察中の結晶粒界運動モデルでは、結晶方位を表す角度が1種類しかない事が要改良点となっている。令和4年度では、この点を改良した3次元モデルの数学解析に新たに着手し、3次元結晶粒界に対する幾何学的精密解析に向けた研究活動を開始した。今年度では、先ずは上記の改良型3次元モデルの解の存在の保証まで進捗しており、査読付き論文1編の形で研究成果を発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
令和4年度における研究計画の進捗状況は、大きく以下2点に要約される。
1点目は、COVID-19蔓延の影響で先送りとなっていた、海外研究協力者との対面式での研究討論が実現した点である。今年度における研究討論は、スペインのS. Moll氏 (Valencia 大学) を訪問する形で実施した。この事により、課題(C)の自由境界の幾何学的形態変動の解析に関する研究の展望が大きく開けた点は、本年度において計画が大きく前進した点である。他方で実のところ、当初は昨年度からの持ち越し案件となっていた、米国のH. Antil氏とも対面式の研究討論を計画していた。しかしこちらに関しては、感染状況や渡航規制の状況を鑑みたうえで実施を見送る判断を余儀なくされており、課題(D)の数値計算が遅延している大きな要因となっている。
2点目は、結晶粒界運動の研究において、擬放物型の偏微分方程式系による独自の数学モデルのアイデアを着想した点である。このアイデアにより、課題(A)において難しいと予想していた解の一意性が成立する数学モデルの構築と、これに基づいた課題(B)における最適制御理論の構築という、新しい研究の展望を拓くことができた。
しかしながら、上記2点の進展は、扱う数学モデルの多様化も引き起こしており、結果として課題(D)の数値計算の重要性が著しく増加している。しかしながら、数値計算活動については、海外研究者との連携が停滞している点を含め、難航しているのが現状である。
以上をまとめると、令和４年度では課題(A)(B)(C)の活動全般において大きな進展がみられたものの、その反動で課題(D)の遅延の問題が更に浮き彫りになったという側面がある。数値計算の遅延は、過去2年間に亘る懸念事項であった点を考慮すると、総合的な評価としては「やや遅れている」が妥当であると、自己評価している。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和5年度における重要課題は、計画遅延の要因となっている数値計算活動の増強を図る事である。このため、今年度では、海外研究協力者との対面式研究討論の機会の確保を最優先とする。
米国からの研究協力者のH. Antil氏とは、5月に研究代表者がAntil氏の本拠地であるGeorge Mason 大学を訪問し、対面式での研究討論を行うことが決まっている。米国での研究討論では、先ずは以前より継続中の結晶粒界運動の数学モデルの数値計算に関する研究成果を整理し、論文執筆と成果発表にかかる年間スケジュールを確定させる。その上で、擬放物型の新型数学モデルの研究に対しても取り組みを開始し、数値計算の課題の洗い出しを通して課題遂行の優先順位を明確化することによって、令和6年度を含めた長期の研究計画の骨子を固める。
これに対し、スペインからの研究協力者のS. Moll氏とは、令和5年8月に東京(早稲田大学)で開催の「応用数理学会国際会議 (ICIAM2023)」において、ミニシンポジウムを共同で主催することが決まっている。また、このミニシンポジウムは、国内研究協力者の渡邉紘氏(大分大学)も、共同主催者として参画する。更にミニシンポジウム参加者は主催者が厳選した研究者で構成されており、その中には数値計算の専門家も含まれる。従って令和5年度では、ICIAM2023におけるミニシンポジウムを、研究協力者間の研究打ち合わせとしてだけでなく、数値計算活動における情報収集および協力者の新規開拓の場として、積極的に活用する。
更に、仮似変分不等式による抽象数学理論の研究おいても、国内研究協力者の山崎教昭氏(神奈川大学)との連携を取りながら、活動を継続する。その上で、ここでは結晶粒界運動への理論の応用を念頭に置き、対応する最適制御問題に対する数値計算アルゴリズムの構築を、年度内の達成目標とする。
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Report
(3 results)
Research Products
(46 results)
