| Project/Area Number |
20K03677
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
田中 直樹 静岡大学, 理学部, 教授 (00207119)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | 発展作用素 / 安定性条件 / 高村予想 / 二重非線形発展方程式 / 変異解析 / 距離空間における微分方程式 / 南雲の条件 / 岡村の一意性条件 / 定義域が稠密でない作用素 / 解の初期値に関する連続的依存性 / サイズ構造モデル / 距離空間における勾配流 / 劣微分作用素理論 / 遅れを考慮した非自励な方程式 / 準線形方程式 / カラテオドリー条件 / 初期値問題に関する適切性定理 / 初期値問題に関する近似定理 / 半線形発展方程式 / 距離を用いた消散構造 / 非自励系 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究は, 解の初期値に関する連続的依存性に着目し, バナッハ空間における非自励な微分方程式に対する適切性の研究を, 距離を用いて方程式の消散構造を捉える研究へと発展させ, さらに, ベクトル空間の枠を超える適切性定理へと深化させるものである。具体的には, 時間に依存する単調作用素, 劣微分作用素により支配される発展方程式の枠組みの拡張, 及び, 距離空間における微分方程式の適切性理論の深化を目指す。さらに, 距離空間における勾配流に対する適切性定理を自励系から非自励系へ拡張する。これらにより, 新たな潮流である線形構造を有しない空間における微分方程式への体系的な理解を進める。
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| Outline of Annual Research Achievements |
[1] 時間に依存する単調作用素, 劣微分作用素により支配される発展方程式の枠組みの拡張：昨年度までに確立していた「非自励な発展方程式の初期値問題に対する適切性定理」が「時間とともに変化する発展作用素は加藤の安定性条件より弱い安定性条件から生成可能であり, その生成定理が退化波動方程式へ適用可能である」という高村予想へ応用可能であることを明らかにした. その成果を第187回神楽坂解析セミナーにおいて発表した（招待講演）.
[2] 変異解析が秘める可能性の追究－距離空間における微分方程式の適切性理論の深化を目指して－：これまでの順調な成果を踏まえ昨年度に方向づけた新たな研究課題「準微分方程式に対する適切性定理の確立」を実現し, その応用として, 楕円-双曲系抽象方程式の解析手法にもとづく加藤の非線形理論及び作用素半群に関する Chernoff の積公式を導出した. その成果を2024年度日本数学会年会実函数論分科会において発表した（招待講演）. 現在, 他の応用事例を調査しつつ, 準微分方程式に対する適切性定理のさらなる有用性として, 福原微分で記述される set evolution equation の初期値問題等との関連性を探っている.
[3] 距離空間における勾配流に対する適切性定理の拡張－自励系から非自励系へ－：東北大学の赤木氏と共同で取り組んだ存在性に焦点を絞った研究「劣微分作用素理論を軸とした二重非線形発展方程式の可解性」から得た視点を活かし, 可積分な2変数関数の活用による消散構造を組み込んだ積分解の導入を軸とする展開を加速することとした.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
4年目に実現する予定であった課題「距離空間における勾配流に対する適切性定理の拡張－自励系から非自励系へ」について, 可積分な2変数関数の活用による消散構造を組み込んだ積分解の導入を軸として展開しているものの, 成果をあげるに至っていない. また, 新たな研究課題「準微分方程式に対する適切性定理の確立」の実現は, 当初計画より一歩進むものであるが, その有用性を調査している状況であり, 原稿の作成段階に至っていない. これらのことから, 限られた研究時間内で計画的に進めているが, おおむね順調に進展しているとは考えにくく, やや遅れていると判断する.
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| Strategy for Future Research Activity |
研究課題「距離空間における勾配流に対する適切性定理の拡張－自励系から非自励系へ」の実現で当初の計画がすべて完成する. このことを踏まえ, 距離空間における勾配流がヒルベルト空間における勾配流の一般化であることから, ヒルベルト空間における非自励な勾配流への重要な実績をもつ東北大学の赤木氏をはじめとする発展方程式研究会のメンバーによる専門的知識の提供を受けながら完成を目指したい.
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