Mathematical analysis for surface waves arising from body waves and its applications

Research Project

Project/Area Number	20K03684
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
Research Institution	Hiroshima University
Principal Investigator	川下和日子広島大学, 先進理工系科学研究科(工), 准教授 (40251029)
Project Period (FY)	2020-04-01 – 2025-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2021)
Budget Amount *help	¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000) Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000) Fiscal Year 2022: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000) Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2020: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Keywords	表面波 / 実体波 / 逆問題 / 局所エネルギー / 境界値問題 / 表面波と実体波 / 漸近解 / 表面の幾何構造 / 誤差評価
Outline of Research at the Start	物質の境界や接合面付近を伝わる波である表面波は、非破壊検査での物質表面近傍の観測において注目される一方で、逆問題での再構成等のための数値解析の場面ではノイズとして扱われることが多い。数学的な立場から表面波を扱う場合、表面波の存在が理論の展開・構築に影響を与えるため、表面波独自の解析をより深める必要がある。これらを踏まえ、本研究では特に実体波の入射によって現れる表面波の性質について数学的な観点から研究し、表面波を用いた逆問題の数学的展開を目標とする。
Outline of Annual Research Achievements	本研究では、地震波や電磁波等の実体波が境界や接合面に入射することによって現れる表面波の性質について数学的に研究し、逆問題等への応用を目指すことを目的としているが、研究期間の2年目に当たる令和3年度は昨年度に続き準備段階として、実体波の入射から物質表面の情報を取り出すことについての研究を行った。逆問題において求める情報（調査対象の内部の空洞や介在物までの距離や形状など）を引き出すためには、「指示関数」が重要な役割を果たす。指示関数のパラメーターを大きくしていった時の指示関数の漸近挙動、漸近展開から情報を引き出すのであるが、今までに主流として行われてきた研究手法においては、調査対象物における境界条件についてDirichletあるいはNeumannのいずれか一方の同質な状況であることが求められている。実際の場面においてこの状況を仮定することは望ましくないため、この研究では散乱理論においてよく用いられる漸近解(近似解)を構成し、その表示を指示関数の解析に取り入れるという方法を採用している。今までの手法で一番問題となるのは，観測点とDirichlet境界条件の対象物までの距離が、観測点とNeumann境界条件の対象物までの距離に完全に一致する場合であるが、この方法によって得られた指示関数の漸近展開の初項に着目すると、Dirichlet境界条件の対象物とNeumann境界条件の対象物の表面それぞれの表面の幾何的形状に関する値の差になって漸近展開の初項に現れることがわかった。このとき曲率の小さい方の対象物の方が最短の対象物として観測されるという結果になった。しかし令和2年度と同様、対象物表面について本来必要と思われる以上に高い「滑らかさ」を要求する状況が部分的にしか改善されておらず、解消するべき課題として引き続き残っている。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 4: Progress in research has been delayed. Reason 本年度は研究期間の2年目であるが結果として準備段階のままであり、昨年度から大きな進展はできなかった。令和2年度にオンラインで教育・研究を行うために新しいコンピュータを購入したので、年度当初、コンピュータによる数値解析を実験的に行うための勉強を始めた。Pythonの勉強や一流の研究者による講演をオンラインで聴講するなど、視野を広げる機会になった。しかし、研究の観点からすると時間を費やした割に未だに実装には及ばず、このままの継続には問題があると判断し、一旦中止することにした。機会があればまた挑戦したいが、適切な協力者を得ないと難しいと感じた。令和2年度に続き、逆問題の観点においては、表面波ではなく実体波に対応する漸近解を用いて空洞や介在物までの距離や表面の状態を調べるという方針で考察を進めている。発射された実体波が対象物に到着して観測点に返ってくることによって情報を得るという考え方なので、表面波による逆問題にはなっていないが、周波数を固定して波を局所的に見ているという観点が将来的に表面波につながるのではと期待している。この方法の問題点として、剰余項を評価するために必要となる対象物の表面の滑らかさが高すぎるという課題が残っている。これは楕円型の境界値問題の解の境界上での評価の問題として捉えられ、特にDirichlet境界条件を与えた場所での解の微分の評価についてが、未解決の課題である。もう一つ掲げていた表面波のエネルギー分布の観点からのアプローチについても、徐々に検討を始めているが、実体波から生じる表面波はレーリー波と比べ、表示式が格段に複雑になっているため、同じように扱うことはできない。実体波の入射角によって表面波が現れるかどうかが分かれるのであるが、その変わり目の部分の扱いが難しく、重要になることがわかった。
Strategy for Future Research Activity	漸近展開による方法での逆問題のアプローチについて、ある程度の段階でまとめることが急務であると考えている。先に述べたように、剰余項の処理のために、評価対象物の表面に対して必要と予想される階数よりも高い滑らかさを要求してしまう問題が残っているが、当初はこの問題の解決にここまで難航するとは予想していなかった。現在のところ、剰余項の評価について納得のいく結果は得られていないが、現在の得られているところまでで、一度まとめる必要があると考えている。その上で、次の段階としては、展開の初項だけでなくその次の項についても詳細な考察を進める、あるいは層状媒質の場合について同様な考察を行うといった方向へ進めて行きたいと考えている。また一方で、一旦逆問題から離れて表面波のエネルギー分布の観点へ立ち返るということも考えられるが、こちらの方向も難題が多く、すぐに結果が得られるような状況ではない。そこでやはり、当初の予定通り、漸近解の方法による逆問題へのアプローチという方向で、もうしばらく研究を進めて一定の結果としてまとめたい。その上で、エネルギー分布の観点についても少しずつ研究を進めて行きたいと考えている。コロナ禍による影響は今後も不透明であるが、定着してきたオンラインによる会議・講演会参加や打ち合わせ等を今後も活用し、幅広く柔軟に情報収集ができることを期待している。また、必要に応じて適宜、これらの機器の拡充・更新、ソフトウエアの導入も行っていき、今後の研究を進めていきたいと考えている。