動的境界条件を有する拡散方程式の非線形問題への展開
| Project/Area Number |
20K03689
|
|---|
| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
|
| Allocation Type | Multi-year Fund |
|---|
| Section | 一般 |
|---|
| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
|
|---|
| Research Institution | Ryukoku University |
|---|
Principal Investigator |
川上 竜樹 龍谷大学, 先端理工学部, 教授 (20546147)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
|
| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
|
| Budget Amount *help |
¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
|
|---|
| Keywords | 動的境界条件 / 拡散方程式 / 重み付き空間 / 可解性 / 指数型非線形項 / 非線形境界条件 / 高次漸近展開 / 分数冪拡散方程式 / 外部領域 / 分数冪 Hardy-Henon 方程式 / Joseph-Lundgren 指数 / 高階放物型方程式 / 分数冪Laplacian / 退化放物型方程式 |
|---|
| Outline of Research at the Start |
これまで半空間や単位球の外部領域における動的境界条件を有する楕円型方程式の研究によって用いてきた手法を応用・発展させることで、具体的な解表示とそれに基づく様々な評価の導出を行う。また、付随した研究として、半空間の非線形動的境界条件の定常問題として現れる分数冪Laplacianを有する非線形楕円型方程式について,その解構造の解明を目指す。さらに、より一般の動的境界条件への展開として、一般の分数冪拡散方程式に付随する特異または退化係数を有する放物型方程式の可解性や、高次の微分を含む境界条件に関連する高階放物型方程式への分数冪拡散方程式からのアプローチを試みる。
|
| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は半空間における動的境界条件を有する熱方程式の可解性について、基本解の構成を目指すという観点から改良を行なった。本研究は東京大学の石毛和弘氏とコメニウス大学の Marek Fila 氏と行なってきた動的境界条件に関する一連の共同研究の継続研究にあたるものであり、今回も共同で行なった。これまで本問題に対しては、初期値が境界上及び内部で有界である場合についてのみ扱われており、その場合については有界な解が構成できることが示されていた。一方、基本解を構成するにあたっては、初期値の有界性は仮定できず、初期値の空間及びそれに付随した解の空間について進展が待たれていた。ここでは、境界上の初期条件は恒等的にゼロである場合に限定するものの、内部の初期条件が適当な重み付き空間に属する場合に、より広いクラスに属する解の可解性を得ることができた。
この問題における本質的な問題点は、境界上と内部それぞれにある時間発展を内部の方程式に押し付ける際に非線形項に現れる時刻に関する特異性であるが、ここでは半空間における動的境界条件の特徴の一つである、半直線方向と時間方向の関係性に着目することで、半直線方向に関する重み付き空間を導入することで上記の問題点を解消することができた。本研究成果により本問題の可解性についての進展が得られたとともに、基本解の構成について大きな示唆が得られたと言える。この結果についてはすでに論文として現在投稿中である。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初予定していた基本解の完全な構成には至っていないものの、可解性の範疇を拡張できた点、さらに基本解の構成についての問題点の抽出が行えた点については本研究課題の推進に大きく寄与できたと考えられる。
また、退化する係数を有する放物型方程式の可解性についても具体的な成果は得られていないものの、これまで用いていなかった抽象論を用いたアプローチを検証しており、研究自体は進展していると言える。
以上の観点から本年度の研究目的に対して"おおむね順調に進展している"と言える。
|
| Strategy for Future Research Activity |
まずは、本研究課題の最終年度として、これまでの研究全体の総括とやり残した研究について見直しを行う。そこで得られた課題について、今後の研究の方向性を明確にし、次の研究課題を見据えた形での研究に着手する。また、国際共同研究については可能な限り対面での実施を模索し、コロナ禍による影響によって停滞していた連携の強化に努める。
|
Report
(3 results)
Research Products
(16 results)
