Evolution operators with non-densely defined generators and its applications
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20K03696
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
松本 敏隆 静岡大学, 理学部, 教授 (20229561)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
渡邉 紘 大分大学, 理工学部, 准教授 (30609912)
小林 良和 中央大学, 理工学部, 共同研究員 (80092691)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
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| Keywords | 安定性条件 / 発展作用素 / 生成定理 / 準線形方程式 / 線形発展作用素 / 生成作用素 / 初期・境界値問題 |
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| Outline of Research at the Start |
偏微分方程式の初期値・境界値問題を、方程式を考える空間と境界値の空間との積空間における初期値問題に書き換えて解の存在を示す手法が1990年に開発され、人口問題などの具体的な問題へと応用されている。この手法の特徴として、解を与える発展作用素の生成作用素の定義域が稠密でないことがある。本研究は、一般のバナッハ空間では未解決となっている生成作用素が時間依存する場合や準線形作用素の場合に発展作用素の存在を証明して、その結果を具体的な問題へ応用することを目指すものである。
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| Outline of Annual Research Achievements |
生成作用素が時間に依存してかつ定義域が稠密でない場合を考察し、回帰的Banach空間における初期・境界値問題にも適用可能な線形発展作用素の生成・微分可能性に関する定理の完成度を高めた。先行研究では線形発展作用素の微分可能性に関して、生成作用素の定義域が一定の場合と時間に依存する場合とで条件および証明が分かれていたが、これを１つの条件・証明にまとめた結果、具体的な偏微分方程式の初期・非斉次境界値問題に適用する際に非斉次項に課す条件を緩和することが可能となった。さらに、今回導入した新しい安定性条件は生成作用素が時間に依存しない場合には、非斉次問題のある種の弱解が存在するための必要十分条件であることも示した。これらの結果をまとめた論文を現在投稿中である。
研究分担者の渡邉は、放物型・双曲型単独保存則に対する1次元初期値問題を考察した。拡散項の退化領域の連結成分の数が一般の自然数mの場合を考察し、高々m個の不連続点を持つ進行波解を構成した。同様の手法を用いて、希薄波型のエントロピー劣解・優解の構成を行った。さらに、構成された解の周りでのエントロピー解の漸近挙動についても考察し、コンパクトな台を持つ初期値に対するエントロピー解の界面の進行速度の評価を与えた。また、結晶粒界現象を記述するKobayashi-Warren-Carter型モデルの多次元非斉次ディリクレ境界値問題を考察し、 エネルギー消散解の時間大域存在および、オメガ極限集合が定常問題の解で特徴づけられることを証明した。さらに、1次元問題に対してはオメガ極限集合構造の完全な特徴付けと解のSBV正則性の結果を得た。また, 2次元球対称解が存在するための十分条件を得た。
研究分担者の小林は、距離空間におけるリプシッツ発展作用素の生成定理の拡張について検討を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
生成作用素が時間に依存してかつ定義域が稠密でない場合については、発展作用素の微分可能性に関する既存の結果の改良を行い、具体的な偏微分方程式に課す条件を緩和し、さらに新しく見つけた安定性条件は生成作用素が時間に依存しない場合には、非斉次問題の弱解が存在するための必要十分条件であることを示した。当初の予想よりも良い結果が得られているが、準線形作用素の場合については生成定理の証明が進んでいない。
準線形問題に関しては、放物型・双曲型単独保存則という一般に解の挙動を考察することが困難である方程式に対して、拡散項の退化領域の連結成分の数が有限個の場合に高々m個の不連続点を持つ進行波解および希薄波型のエントロピー劣解・優解を構成して、解の周りでのエントロピー解の界面の進行速度の評価を与えており、良い結果が得られたと考えている.
距離空間におけるリプシッツ発展作用素の生成定理の拡張の検討を進めている。
以上の事から、研究計画全体としてはやや遅れていると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
準線形作用素の場合の生成定理の証明に取り組む。研究目的達成のため、引き続き研究分担者、研究協力者とともに各研究を進めると共に、研究集会等にも参加して最新の情報の収集と成果発表を行う。
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Report
(3 results)
Research Products
(25 results)
